Τέμνονται επί

KARKAR · #1

: Τέμνονται επί.png (18.92 KiB) Προβλήθηκε 1199 φορές

Τα σημεία

είναι τα μέσα των πλευρών AB , AC

αντίστοιχα , τριγώνου ABC

, ενώ το

τυχόν

σημείο της

. Τα τμήματα AS , MN

τέμνονται στο

. Ας πούμε B' , C'

τα συμμετρικά των B , C

ως προς

. Δείξτε ότι τα τμήματα MB' , NC'

τέμνονται πάνω στο τμήμα

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 28, 2020 1:24 pm
Τέμνονται επί.pngΤα σημεία είναι τα μέσα των πλευρών αντίστοιχα , τριγώνου , ενώ το τυχόν

σημείο της . Τα τμήματα τέμνονται στο . Ας πούμε τα συμμετρικά των

ως προς . Δείξτε ότι τα τμήματα τέμνονται πάνω στο τμήμα .

Τα

είναι παραλληλόγραμμα (οι διαγώνιες διχοτομούνται) άρα C'N//MC

και λοιπά. Άρα οι έξι γωνίες στις κορυφές του μεγάλου τριγώνου που σχηματίζονται από τις CM,BN,AS

είναι ίδιες με τις αντίστοιχες του μικρού. Από Τριγωνομετρικό Ceva στα δύο τρίγωνα, καθαρίσαμε.

nickchalkida · #3

Προφανώς

είναι παραλληλόγραμμο.
Έστω $D=B'M \cap BC'$ , $E=C'N \cap CB'$ και ας επιζευχθούν τα D,C

και

.
Αν τώρα $F=B'M \cap AS$ και $G=DC \cap AS$ τότε το θεώρημα του Πάππου διασφαλίζει το ζητούμενο.

#4

Από

και

, έχουμε ότι τα σημεία $B',\ A,\ C'$ είναι συνευθειακά, σύμφωνα με το Θεώρημα Θαλή

και ισχύει $A'B'\parallel BC\parallel MN$ και AB' = AC'

λόγω

.

Στο τραπέζιο B'C'MN

τώρα, με $B'C'\parallel MN$ προκύπτει ότι το σημείο τομής των διαγωνίων του ανήκει στην ευθεία που συνδέει τα μέσα $A,\ K$ των βάσεών του και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Μπερδεύτηκα από το σχήμα και δεν πρόσεξα ότι στην εκφώνηση το σημείο $S\in BC$ δεν ταυτίζεται με το μέσον της

και επομένως, η ως άνω απόδειξη αφορά σε άλλο πρόβλημα ( ειδική περίπτωση ). Θα την ξαναδώ και εάν όπως νομίζω διορθώνεται, βασισμένη στο ίδιο σκεπτικό, θα επανέλθω.

#5

vittasko έγραψε: ↑
Τρί Δεκ 29, 2020 10:33 am
Από και και , έχουμε ότι τα σημεία $B',\ A,\ C'$ είναι συνευθειακά, σύμφωνα με το Θεώρημα Θαλή

και ισχύει $A'B'\parallel BC\parallel MN$ και λόγω .

Στο τραπέζιο τώρα, με $B'C'\parallel MN$ προκύπτει ότι το σημείο τομής των διαγωνίων του ανήκει στην ευθεία που συνδέει τα μέσα $A,\ K$ των βάσεών του και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Μπερδεύτηκα από το σχήμα και δεν πρόσεξα ότι στην εκφώνηση το σημείο $S\in BC$ δεν ταυτίζεται με το μέσον της και επομένως, η ως άνω απόδειξη αφορά σε άλλο πρόβλημα ( ειδική περίπτωση ). Θα την ξαναδώ και εάν όπως νομίζω διορθώνεται, βασισμένη στο ίδιο σκεπτικό, θα επανέλθω.

: Τέμνονται επί.; f 178_t 68653.PNG (22.5 KiB) Προβλήθηκε 1089 φορές

Ξαναγράφω την απόδειξη για τυχόν σημείο $S\in BC$ , βασισμένη στο ίδιο σκεπτικό ως άνω.

Από BK = KB'

και

, σύμφωνα με το Θεώρημα Θαλή, έχουμε ότι τα σημεία $B',\ A,\ C'$ είναι συνευθειακά και ισχύει

$B'C'\parallel BC\parallel MN$ και $\displaystyle \frac{AB'}{AC'} = \frac{SB}{SC}\Rightarrow$ $\displaystyle \frac{AB'}{AC'} = \frac{KM}{KN}\ \ \ ,(1)$ λόγω $\displaystyle \frac{MK}{KN} = \frac{SB}{SC}$ από $MN\parallel BC$ .

Στο τραπέζιο B'C'MN

τώρα, σύμφωνα πάλι με το Θεώρημα Θαλή, συμπεραίνεται ότι οι ευθείες $MB',\ NC',\ AK$ τέμνονται στο ίδιο σημείο και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Κώστας Βήττας.

#6

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 28, 2020 1:24 pm
Τέμνονται επί.pngΤα σημεία είναι τα μέσα των πλευρών αντίστοιχα , τριγώνου , ενώ το τυχόν

σημείο της . Τα τμήματα τέμνονται στο . Ας πούμε τα συμμετρικά των

ως προς . Δείξτε ότι τα τμήματα τέμνονται πάνω στο τμήμα .

Ας δούμε και το πιο γενικευμένο πρόβλημα

Δίνεται η επίπεδη κεντρική δέσμη $\displaystyle{A.XYZ}$ και τρεις παράλληλες ευθείες στο επίπεδο της δέσμης $\displaystyle{\left( {{e_1}} \right)\parallel \left( {{e_2}} \right)\parallel \left( {{e_3}} \right)}$ . Αν $\displaystyle{{X_1},{Y_1},{Z_1}}$ και $\displaystyle{{X_2},{Y_2},{Z_2}}$ είναι τα σημεία τομής των ευθειών $\displaystyle{AX,AY,AZ}$ με τις $\displaystyle{\left( {{e_1}} \right),\left( {{e_2}} \right)}$ αντίστοιχα , να δειχθεί ότι οι $\displaystyle{{X_2}{X_3}}$ και $\displaystyle{{Z_2}{Z_3}}$ τέμνονται επί της $\displaystyle{AY}$ , όπου $\displaystyle{{X_3} \equiv {X_1}{Y_2} \cap \left( {{e_3}} \right)}$ και $\displaystyle{{Z_3} \equiv {Z_1}{Y_2} \cap \left( {{e_3}} \right)}$ .

Απόδειξη

: Τέμνονται επί.png (25.23 KiB) Προβλήθηκε 1056 φορές

Αν $\displaystyle{{Y_3} \equiv AY \cap \left( {{e_3}} \right)}$ τότε από την κεντρική δέσμη με κέντρο $\displaystyle{{Y_2}}$ και $\displaystyle{\left( {{e_1}} \right)\parallel \left( {{e_3}} \right) \Rightarrow \dfrac{{{X_3}{Y_3}}}{{{Y_3}{Z_3}}} = \dfrac{{{X_1}{Y_1}}}{{{Y_1}{Z_1}}}\mathop = \limits^{A.XYZ,\left( {{e_1}} \right)\parallel \left( {{e_2}} \right)} \dfrac{{{X_2}{Y_2}}}{{{Y_2}{Z_2}}}\mathop \Rightarrow \limits^{\left( {{e_2}} \right)\parallel \left( {{e_3}} \right)} {X_2}{X_3},{Y_2}{Y_3},{Z_2}{Z_3}}$ αποτελούν κεντρική δέσμη (αντίστροφο κεντρικής δέσμης) ,έστω κέντρου $\displaystyle{S}$ όπως φαίνεται στο σχήμα και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Στάθης

#7

Αλλιώς, με βάση το Θεώρημα Desarques, που "φωνάζει".

$\bullet$ Τα τρίγωνα $\vartriangle X_{1}X_{2}X_{3},\ \vartriangle Z_{1}Z_{2}Z_{3}$ είναι προοπτικά λόγω $X_{1}Z_{1}\parallel X_{2}Z_{2}\parallel X_{3}Z_{3}$ .

Συμπεραίνεται έτσι ότι τα σημεία $Y_{2}\equiv X_{1}X_{3}\cap Z_{1}Z_{3}$ και $S\equiv X_{2}X_{3}\cap Z_{2}Z_{3}$ και $A\equiv X_{1}X_{2}\cap Z_{1}Z_{2}$ είναι συνευθειακά και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Κώστας Βήττας.

Τέμνονται επί

Τέμνονται επί

Re: Τέμνονται επί

Re: Τέμνονται επί

Re: Τέμνονται επί

Re: Τέμνονται επί

Re: Τέμνονται επί

Re: Τέμνονται επί

Μέλη σε σύνδεση