Κατασκευή ευθείας

[george visvikis]

Κατασκευή ευθείας.1.png (10.89 KiB) Προβλήθηκε 944 φορές

Η χορδή και η διάμετρος ενός κύκλου τέμνονται κάθετα στο Ζητείται να φέρουμε από το ευθεία που

να τέμνει τη στο και τον κύκλο στο ώστε το μήκος του να είναι ίσο με σταθερό τμήμα

[Mihalis_Lambrou]

Η χορδή και η διάμετρος ενός κύκλου τέμνονται κάθετα στο Ζητείται να φέρουμε από το ευθεία που

να τέμνει τη στο και τον κύκλο στο ώστε το μήκος του να είναι ίσο με σταθερό τμήμα

Θέτουμε , το οποίο ψάχνουμε. Από το εγγράψιμο (έχει δύο απέναντι γωνίες ορθές) έπεται από δύναμη σημείου ως προς ότι
δοθέν. Λύνουμε τώρα την δευτεροβάθμια ως προς , και τα υπόλοιπα άμεσα και γνωστά.

Ο λόγος που γράφω την λύση είναι ο πειρασμός του ιστορικού σχολίου: Η ζητούμενη διατέμνουσα είναι η ευθεία που προκύπτει από αυτό που οι
αρχαίοι ονόμαζαν "νεύση". Εδώ είναι μεταξύ των καμπυλών (ευθεία) και το τόξου , με πόλο . H συγκεκριμένη άσκηση υπάρχει στην Συναγωγή του Πάππου, αλλά δεν θυμάμαι την λύση. Πάντως την έχει ως παράδειγμα κατασκευής νεύσης που λύνεται με κανόνα και διαβήτη ενώ γενικά οι κατασκευές νεύσης δεν λύνονται με κανόνα και διαβήτη.

[Doloros]

Η υλοποίηση της κατασκευής του Κ. Λάμπρου .

κατασκευή ευθείας_σαν νεύση.png (28.3 KiB) Προβλήθηκε 895 φορές

Πάνω στην ( ή την ) θεωρώ σημείο με .

Γράφω ημικύκλιο, προς τη μεριά του , διαμέτρου και κέντρου . Η το τέμνει στο . Ο κύκλος τέμνει τη , εν γένει , σε δύο σημεία

Οι ευθείες είναι αυτές που ζητάμε .

Το πρόβλημα έχει δύο, μια ή καμιά λύση καθ’ όσον ο κύκλος τέμνεο εφάπτεται ή δεν έχει κοινό σημείο με την .

[Mihalis_Lambrou]

Ας συνεχίσω με μερικά ιστορικά σχόλια.

Το γενικότερο πρόβλημα όπου το είναι στο τόξο , όχι κατ' ανάγκη το μέσον του, υπάρχει στο Περί ελίκων του Αρχιμήδη χωρίς την επίλυσή του. Η επίλυσή του υπάρχει στην Συναγωγή του Πάππου, όπου λύνεται με τομή μίας παραβολής και μίας υπερβολής (δηλαδή όχι με κανόνα και διαβήτη).

Στα αρχαία κείμενα έχουμε ειδικές περιπτώσεις του παραπάνω, που λύνονται με κανόνα και διαβήτη. Συγκεκριμένα, α) στα Σχόλια του Σιμπλίκιου στα Φυσικά του Αριστοτέλη υπάρχει η περίπτωση όπου , όπου η ακτίνα του κύκλου. Επίσης (αλλά δεν θυμάμαι που: θα το ψάξω) β) λύνεται με κανόνα και διαβήτη η ειδική περίπτωση όπου η χορδή είναι διάμετρος.