Παραγοντοποίηση και ελαχιστοποίηση

KARKAR · #1

Α) Αναλύστε το πολυώνυμο : x^4+x^2y^2+y^4

, σε δύο δευτεροβάθμιους παράγοντες .

Β) Αν : x^4+x^2y^2+y^4=12

, υπολογίστε το ελάχιστο του : 2x^2+xy+2y^2

.

#2

Είναι $\displaystyle{x^4+x^2y^2+y^4=(x^2-xy+y^2)(x^2+xy+y^2).}$

Ας είναι $\displaystyle{x^2-xy+y^2=a\geq 0, x^2+xy+y^2=b\geq 0,}$ οπότε $\displaystyle{2x^2+2y^2=a+b, \frac{b-a}{2}=xy.}$

Ζητάμε το ελάχιστο του $\displaystyle{a+b+\frac{b-a}{2}=\frac{a}{2}+\frac{3}{2}b,}$ υπό τον όρο $\displaystyle{ab=12.}$

Είναι τότε $\displaystyle{\frac{a}{2}+\frac{3}{2}b=\frac{a}{2}+\frac{18}{a}\geq 6}$ με την ισότητα όταν $\displaystyle{a=6, b=2,}$ δηλαδή όταν $\displaystyle{x=\pm \sqrt{2}, y=\mp \sqrt{2}}$

Παραγοντοποίηση και ελαχιστοποίηση

Παραγοντοποίηση και ελαχιστοποίηση

Re: Παραγοντοποίηση και ελαχιστοποίηση

Μέλη σε σύνδεση