2024 ακέραιες λύσεις

#1

Θεωρούμε τον δεκαδικό αριθμό $\displaystyle{a=b,m}$ , όπου $\displaystyle{b}$ ακέραιος μεγαλύτερος του $\displaystyle{4}$ και $\displaystyle{m}$ μονοψήφιος φυσικός αριθμός.
Να βρεθούν όλες οι δυνατές τιμές του $\displaystyle{a}$ , ώστε η ανίσωση:

$\displaystyle{ x^2 -(3a+2)x +2a^2 +5a < 3}$

να έχει ακριβώς $\displaystyle{2024}$ ακέραιες λύσεις.

abgd · #2

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: ↑
Κυρ Φεβ 25, 2024 5:36 pm
Θεωρούμε τον δεκαδικό αριθμό $\displaystyle{a=b,m}$ , όπου $\displaystyle{b}$ ακέραιος μεγαλύτερος του $\displaystyle{4}$ και $\displaystyle{m}$ μονοψήφιος φυσικός αριθμός.
Να βρεθούν όλες οι δυνατές τιμές του $\displaystyle{a}$ , ώστε η ανίσωση:

$\displaystyle{ x^2 -(3a+2)x +2a^2 +5a < 3}$

να έχει ακριβώς $\displaystyle{2024}$ ακέραιες λύσεις.

Το τριώνυμο $\displaystyle{ x^2 -(3a+2)x +2a^2 +5a - 3}$ έχει ρίζες τις $\displaystyle{ 2a-1, a+3}$ , με "απόσταση" $\displaystyle{ (2a-1)-(a+3)=a-4>0}$ και είναι αρνητικό, όπως θέλουμε, μεταξύ των ριζών του.

Συνεπώς το πρόβλημα που τίθεται έχει να κάνει με τις τιμές του $\displaystyle{ a}$ για τις οποίες μεταξύ των αριθμών $\displaystyle{ 2a-1, a+3}$ υπάρχουν $\displaystyle{ 2024}$ ακέραιοι αριθμοί.

Δεδομένου ότι $\displaystyle{a=b+\frac{m}{10}, m=0,1,2,...,9}$ έχουμε τις παρακάτω περιπτώσεις:

Αν $\displaystyle{m=0}$ , τότε μεταξύ των ριζών υπάρχουν $\displaystyle{a-4-1=a-5}$ ακέραιοι και θα πρέπει: $\displaystyle{a-5=2024\Rightarrow \boxed{a=2029}}$

Αν $\displaystyle{m=1,2,3,4,5}$ τότε μεταξύ των ριζών υπάρχουν $\displaystyle{b-4}$ ακέραιοι και θα πρέπει: $\displaystyle{b-4=2024\Rightarrow b=2028 \Rightarrow \boxed {a=2028+\frac{m}{10} }, m=1,2,3,4,5$

Αν $\displaystyle{m=6,7,8,9}$ τότε μεταξύ των ριζών υπάρχουν $\displaystyle{b-4+1=b-3}$ ακέραιοι και θα πρέπει: $\displaystyle{b-3=2024\Rightarrow b=2027 \Rightarrow \boxed{a=2027+\frac{m}{10}}, m=6,7,8,9 }$

Ενδιαφέρον έχει η ασυνέχεια των τιμών του $\displaystyle{a}$ !

2024 ακέραιες λύσεις

2024 ακέραιες λύσεις

Re: 2024 ακέραιες λύσεις

Μέλη σε σύνδεση