Ανισότητα με 4 μεταβλητές

#1

Αν

θετικοί με $abcd\ge 1$ , να αποδειχθεί ότι $\dfrac {1}{a+3}+\dfrac {1}{b+3}+\dfrac {1}{c+3}+\dfrac {1}{d+3}\le 1$

(Ας σχολιάσω ότι έχει πολλά άμεσα πορίσματα, π.χ. με την ίδια υπόθεση ισχύει

$\dfrac {1}{ab+3}+\dfrac {1}{bc+3}+\dfrac {1}{cd+3}+\dfrac {1}{da+3}\le 1$ και

$\dfrac {1}{abc+3}+\dfrac {1}{bcd+3}+\dfrac {1}{cda+3}+\dfrac {1}{dab+3}\le 1$ και

$\dfrac {1}{a^{2023}+3}+\dfrac {1}{b^{2023}+3}+\dfrac {1}{c^{2023}+3}+\dfrac {1}{d^{2023} +3}\le 1$ και άλλες πολλές ακόμη παραλλαγές).

Henri van Aubel · #2

Υποθέτω ότι $\displaystyle \frac{1}{a+3}+\frac{1}{b+3}+\frac{1}{c+3}+\frac{1}{d+3}> 1$

Επιπλέον είναι $\displaystyle d+3\geq \frac{1}{abc}+3=\frac{3abc+1}{abc}\Leftrightarrow \frac{1}{d+3}\leq\frac{abc}{3abc+1}$

Άρα $\displaystyle \frac{1}{a+3}+\frac{1}{b+3}+\frac{1}{c+3}+\frac{1}{d+3}\leq \frac{1}{a+3}+\frac{1}{b+3}+\frac{1}{c+3}+\frac{abc}{3abc+1}$

Για να καταλήξω σε άτοπο, θα πρέπει να αποδείξω την παρακάτω ανισότητα για θετικούς πραγματικούς a,b,c :

$\displaystyle \frac{1}{a+3}+\frac{1}{b+3}+\frac{1}{c+3}+\frac{abc}{3abc+1}\leq 1$

Αυτή προκύπτει απλά μετά από πράξεις

#3

Henri van Aubel έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 03, 2023 8:06 pm

Για να καταλήξω σε άτοπο, θα πρέπει να αποδείξω την παρακάτω ανισότητα για θετικούς πραγματικούς a,b,c :

$\displaystyle \frac{1}{a+3}+\frac{1}{b+3}+\frac{1}{c+3}+\frac{abc}{3abc+1}\leq 1$

Αυτή προκύπτει απλά μετά από πράξεις

Νομίζω ότι μπορούμε να θεωρήσουμε ότι η άσκηση δεν είναι ακόμη λυμένη.

Είναι λοιπόν ανοικτή σε όλους, για λύσεις.

Henri van Aubel · #4

Η τελευταία γράφεται ως:

$2\left ( abc \right )^{2}+3c+3c\cdot \left ( ab \right )^{2}+3b+3b\cdot \left ( ac \right )^{2}+2bc+3a+3a\cdot \left ( bc \right )^{2}+2ac+2ab\geq 26abc$

Όμως αυτό ισχύει από ΑΜ-ΓΜ, ...κλπ

elenipappa · #5

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 03, 2023 6:49 pm
Αν θετικοί με $abcd\ge 1$ , να αποδειχθεί ότι $\dfrac {1}{a+3}+\dfrac {1}{b+3}+\dfrac {1}{c+3}+\dfrac {1}{d+3}\le 1$

(Ας σχολιάσω ότι έχει πολλά άμεσα πορίσματα, π.χ. με την ίδια υπόθεση ισχύει

$\dfrac {1}{ab+3}+\dfrac {1}{bc+3}+\dfrac {1}{cd+3}+\dfrac {1}{da+3}\le 1$ και

$\dfrac {1}{abc+3}+\dfrac {1}{bcd+3}+\dfrac {1}{cda+3}+\dfrac {1}{dab+3}\le 1$ και

$\dfrac {1}{a^{2023}+3}+\dfrac {1}{b^{2023}+3}+\dfrac {1}{c^{2023}+3}+\dfrac {1}{d^{2023} +3}\le 1$ και άλλες πολλές ακόμη παραλλαγές).

Με την ανισότητα Andreescu
$\frac{1}{a+3}+\frac{1}{b+3}+\frac{1}{c+3}+\frac{1}{d+3}\geq \frac{16}{a+b+c+d+12}$
Άρα αρκεί να αποδείξουμε ότι: $\frac{16}{a+b+c+d+12}\leq 1\Leftrightarrow a+b+c+d\geq 4$
Όμως σύμφωνα με την ανισότητα Cauchy - Schwarz ισχύει ότι: $(1+1+1+1)(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})\geq (a+b+c+d)^{2}\Leftrightarrow 4(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})\geq (a+b+c+d)^{2}\Leftrightarrow 4\geq \frac{(a+b+c+d)^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}$
Έτσι πρέπει να αποδείξουμε ότι: $a+b+c+d\geq \frac{(a+b+c+d)^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\geq a+b+c+d$ που ισχύει για τους θετικούς a,b,c,d

#6

elenipappa έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 03, 2023 9:09 pm

Με την ανισότητα Andreescu
$\frac{1}{a+3}+\frac{1}{b+3}+\frac{1}{c+3}+\frac{1}{d+3}\geq \frac{16}{a+b+c+d+12}$
Άρα αρκεί να αποδείξουμε ότι: $\frac{16}{a+b+c+d+12}\leq 1\Leftrightarrow a+b+c+d\geq 4$

Όχι δεν αρκεί. Αν αποδείξεις ότι ο πιο μικρός από δύο αριθμούς είναι μικρότερος ή ίσος από το

, δεν σημαίνει ότι και ο πιο μεγάλος από τους δύο είναι μικρότερος ή ίσος του

elenipappa έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 03, 2023 9:09 pm
Όμως σύμφωνα με την ανισότητα Cauchy - Schwarz ισχύει ότι: $(1+1+1+1)(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})\geq (a+b+c+d)^{2}\Leftrightarrow 4(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})\geq (a+b+c+d)^{2}\Leftrightarrow 4\geq \frac{(a+b+c+d)^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}$
Έτσι πρέπει να αποδείξουμε ότι: $a+b+c+d\geq \frac{(a+b+c+d)^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\geq a+b+c+d$ που ισχύει για τους θετικούς

Ναι μεν σωστή η απόδειξη αυτού του σκέλους, αλλά κάνεις τα εύκολα, δύσκολα. Από την ανισότητα ΑΜ-ΓΜ έχουμε αμέσως

$a+b+c+d \ge 4 \sqrt [4]{abcd} \ge 1$ . Tελειώσαμε!

Πάντως, τα συγχαρητήριά μου που ασχολήθηκες.

#7

Henri van Aubel έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 03, 2023 8:43 pm
Η τελευταία γράφεται ως:

$2\left ( abc \right )^{2}+3c+3c\cdot \left ( ab \right )^{2}+3b+3b\cdot \left ( ac \right )^{2}+2bc+3a+3a\cdot \left ( bc \right )^{2}+2ac+2ab\geq 26abc$

Όμως αυτό ισχύει από ΑΜ-ΓΜ, ...κλπ

Τώρα μάλιστα.

Το μόνο σχόλιο που έχω είναι ότι στην αρχική μέθοδο περιτεύει να διώξουμε το

ώστε να αντικατασταθεί το $\dfrac {1}{d+3}$ με το $\dfrac {abc}{3abc+1}$ . Μπορούμε να το αφήσουμε όπως είναι και να κάνουμε τις πράξεις με αυτό. Πάλι είναι πολλές οι πράξεις, αλλά είναι λιγότερες. Γι' αυτό επέμεινα σε προηγούμεν'ό μου ποστ, να δούμε τημ εργασία.

#8

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 03, 2023 6:49 pm
Αν θετικοί με $abcd\ge 1$ , να αποδειχθεί ότι $\dfrac {1}{a+3}+\dfrac {1}{b+3}+\dfrac {1}{c+3}+\dfrac {1}{d+3}\le 1$

Πιο σύντομα:

Η ζητούμενη γράφεται ως

$\displaystyle{\sum \frac{a}{a+3}\geq 1.}$

Από Cauchy Schwarz είναι

$\displaystyle{\sum \frac{a}{a+3}=\sum \frac{\sqrt{a}^2}{a+3}\geq \frac{\left(\sum \sqrt{a}\right)^2}{12+\sum a}}$

οπότε αρκεί να ισχύει $\displaystyle{\sum \sqrt{ab}\geq 6,}$ το οποίο είναι άμεσο από την ΑΜ-ΓΜ και τη συνθήκη.

#9

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 03, 2023 6:49 pm
Αν θετικοί με $abcd\ge 1$ , να αποδειχθεί ότι $\dfrac {1}{a+3}+\dfrac {1}{b+3}+\dfrac {1}{c+3}+\dfrac {1}{d+3}\le 1$

(Ας σχολιάσω ότι έχει πολλά άμεσα πορίσματα, π.χ. με την ίδια υπόθεση ισχύει

$\dfrac {1}{ab+3}+\dfrac {1}{bc+3}+\dfrac {1}{cd+3}+\dfrac {1}{da+3}\le 1$ και

$\dfrac {1}{abc+3}+\dfrac {1}{bcd+3}+\dfrac {1}{cda+3}+\dfrac {1}{dab+3}\le 1$ και

$\dfrac {1}{a^{2023}+3}+\dfrac {1}{b^{2023}+3}+\dfrac {1}{c^{2023}+3}+\dfrac {1}{d^{2023} +3}\le 1$ και άλλες πολλές ακόμη παραλλαγές).

Και για να κλείνει, ας δούμε τι εννοούσα ότι οι τρεις τελευταίες είναι άμεσο πόρισμα της αρχικής.

Η υπόθεση γράφεται ισοδύναμα $a^2b^2c^2d^2 \ge 1$ ή αλλιώς $(ab)(bc)(cd)(da) \ge 1$ . Αν θέσουμε A=ab, B=bc,C=cd,D=da

, έχουμε από την πρώτη ότι

$\dfrac {1}{A+3}+\dfrac {1}{B+3}+\dfrac {1}{C+3}+\dfrac {1}{D+3}\le 1$

που είναι ακριβώς η δεύτερη. Η τρίτη και η τέταρτη είναι μικρές παραλλαγές μέσω των

$(abc)(bcd)(cda)(dab) \ge 1$ και $a^{2023}b^{2023}c^{2023}d^{2023} \ge 1$ , αντίστοιχα.

Ανισότητα με 4 μεταβλητές

Ανισότητα με 4 μεταβλητές

Re: Ανισότητα με 4 μεταβλητές

Re: Ανισότητα με 4 μεταβλητές

Re: Ανισότητα με 4 μεταβλητές

Re: Ανισότητα με 4 μεταβλητές

Re: Ανισότητα με 4 μεταβλητές

Re: Ανισότητα με 4 μεταβλητές

Re: Ανισότητα με 4 μεταβλητές

Re: Ανισότητα με 4 μεταβλητές

Μέλη σε σύνδεση