Ίσες ακτίνες κύκλων

Ορέστης Λιγνός · #1

Δίνεται αμβλυγώνιο τρίγωνο ABC

και τα ύψη του

και

τέμνονται στο

.

Οι προεκτάσεις των $FE, \, BC$ τέμνονται στο

.

Από το μέσο

της

φέρνω παράλληλη στη διχοτόμο της γωνίας $\widehat{EUB}$ που τέμνει τις $CA, \, AB, \, HC, \, HB$ στα $P, \, Q \, X \, Y,$ αντίστοιχα.

Δείξτε ότι οι κύκλοι (A,P,Q)

και

έχουν ίσες ακτίνες.

: kykloi.png (30.67 KiB) Προβλήθηκε 1046 φορές

#2

Ορέστης Λιγνός έγραψε:Δίνεται αμβλυγώνιο τρίγωνο και τα ύψη του και τέμνονται στο .Οι προεκτάσεις των $FE, \, BC$ τέμνονται στο . Από το μέσο της φέρνω παράλληλη στη διχοτόμο της γωνίας $\widehat{EUB}$ που τέμνει τις $CA, \, AB, \, HC, \, HB$ στα $P, \, Q \, X \, Y,$ αντίστοιχα. Δείξτε ότι οι κύκλοι και έχουν ίσες ακτίνες.

$\bullet$ Έστω τα σημεία τομής της διχοτόμου της γωνίας $\angle EUB$ με τις αντίστοιχα.

Τα τετράπλευρα είναι προφανώς εγγράψιμα $\left( \angle BFC=\angle BEC={{90}^{0}} \right)$ .

Τότε: $\angle HX'Y'\mathop = \limits^{\varepsilon \xi \omega \tau \varepsilon \rho \iota \kappa \eta \,\,\sigma \tau o\,\,\vartriangle EX'U} \angle X'EU + \angle X'UE =$ $\mathop = \limits^{\angle X'EU = \angle Y'BU\left( {E,F,B,C\,\,o\mu o\kappa \upsilon \kappa \lambda \iota \kappa \alpha } \right),\angle X'UE = \angle Y'UB\,\,(UY'\,\,\delta \iota \chi o\tau o\mu o\varsigma \,\,\tau \eta \varsigma \,\,\angle EUB)}$

$\angle Y'BU + \angle Y'UB\mathop = \limits^{\varepsilon \xi \omega \tau \varepsilon \rho \iota \kappa \eta \,\,\sigma \tau o\,\,\vartriangle Y'BU} \angle HY'X'$ $\Rightarrow \vartriangle HX'Y'$ ισοσκελές

και με $PY \equiv XY\parallel X'Y' \equiv UY' \Rightarrow \vartriangle HXY$ ισοσκελές άρα $\angle HXY = \angle HYX\mathop \Rightarrow \limits^{\pi \alpha \rho \alpha \pi \lambda \eta \rho \omega \mu \alpha \tau \alpha } \boxed{\angle CXP = \angle QYB}:\left( 1 \right)$

Επίσης $\boxed{\angle XCP\mathop = \limits^{\kappa \alpha \tau \alpha \kappa o\rho \upsilon \varphi \eta \nu } \angle ECF\mathop = \limits^{F,E,X,B\,\,o\mu o\kappa \upsilon \kappa \lambda \iota \kappa \alpha } \angle EBF \equiv \angle QBY}:\left( 2 \right)$ .
[attachment=0]Ισοι κύκλοι.png[/attachment]
$\bullet$ Έστω το σημείο τομής της εκ του παραλλήλου προς την με την . Τότε με το μέσο της $BC\mathop \Rightarrow \limits^{BY\parallel CT} \boxed{CT = BY}:\left( 3 \right)$ .

Με $TC\parallel HY\mathop \Rightarrow \limits^{HY = YX} CX = TC\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 3 \right)} \boxed{CX = BY}:\left( 4 \right)$ και από $\left( 1 \right),\left( 2 \right),\left( 4 \right)\mathop \Rightarrow \limits^{\Gamma - \Pi - \Gamma } \vartriangle BYQ = \vartriangle CXP \Rightarrow$ $YQ = PX\mathop \Rightarrow \limits^{ + QX} \boxed{YX = QP}:\left( 5 \right)$ .

Από την ομοκυκλικότητα των $E,H,F,A \Rightarrow \angle YHX \equiv \angle FHE =$ ${180^0} - \angle FAE \equiv {180^0} - \angle PAQ$ .

Από τη σχέση $\left( 5 \right)$ προκύπτοι ότι οι ίσες χορδές των κύκλων $\left( H,X,Y \right)\,\,\And \,\,\left( A,Q,P \right)$ «φαίνονται»

από τα σημεία τους αντίστοιχα υπό παραπληρωματικές γωνίες και συνεπώς οι κύκλοι είναι ίσες και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Στάθης

Ορέστης Λιγνός · #3

Μα ποιος είσαι, ... ο Deep blue ;

Υ.Γ. Θα επανέλθω με την λύση μου.

Ίσες ακτίνες κύκλων

Ίσες ακτίνες κύκλων

Re: Ίσες ακτίνες κύκλων

Re: Ίσες ακτίνες κύκλων

Μέλη σε σύνδεση