Ανισοτικές σχέσεις

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1

Δίνονται $a,b,c\in \mathbb{R}$
ώστε
$1-4ab\geq 0,1-4ac\geq 0$
Αν είναι
$\sqrt{1-4ab}+\sqrt{1-4ac}> 4a$
να δειχθεί ότι τουλάχιστον ένας από τους a,b,c

είναι μικρότερος του $\frac{1}{\sqrt{8}}$

ksofsa · #2

Καλησπέρα!

Έστω ότι οι a,b,c

θετικοί. Ειδάλλως, το ζητούμενο είναι προφανές.

Αφού $ab\leq \dfrac{1}{4}, ac\leq \dfrac{1}{4}$ ,

μπορώ να θεωρήσω ότι $ab=\dfrac{sin^2x}{4}, ac=\dfrac{sin^2y}{4}$ , με

$x,y\epsilon [0, \dfrac{\pi }{2}]$ .

Η δεδομένη ανισοτική σχέση γράφεται

cosx+cosy> 4a

.

Διακρίνω δύο περιπτώσεις:

1) $cosx, cosy\leq \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

Τότε $a<\dfrac{1}{\sqrt{8}}$

2) $cosx> \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ (όμοια για $cosy> \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ ).

Οπότε $cos^2x> \dfrac{1}{2}\Leftrightarrow sin^2x< \dfrac{1}{2}$

και $ab=\dfrac{sin^2x}{4}< \frac{1}{8}\Rightarrow min (a,b)< \dfrac{1}{\sqrt{8}}$ .

Τελικά το ζητούμενο ισχύει σε κάθε περίπτωση.

Ορέστης Λιγνός · #3

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Κυρ Αύγ 09, 2020 11:24 am
Δίνονται $a,b,c\in \mathbb{R}$
ώστε
$1-4ab\geq 0,1-4ac\geq 0$
Αν είναι
$\sqrt{1-4ab}+\sqrt{1-4ac}> 4a$
να δειχθεί ότι τουλάχιστον ένας από τους
είναι μικρότερος του $\frac{1}{\sqrt{8}}$

Καλημέρα!

Έστω πως $a,b,c \geqslant \dfrac{1}{\sqrt{8}}$ .
Τότε, $ab \geqslant \dfrac{1}{8}$ , άρα $\dfrac{1}{2} \geqslant 1-4ab \geqslant 0$ , οπότε $\sqrt{1-4ab} \leqslant \dfrac{1}{\sqrt{2}}$ .
Όμοια, $\sqrt{1-4ac} \leqslant \dfrac{1}{\sqrt{2}}$ , άρα:

$\sqrt{2}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}} \geqslant \sqrt{1-4ab}+\sqrt{1-4ac} >4a \geqslant \dfrac{4}{\sqrt{8}}=\sqrt{2}$ , άτοπο.

Συνεπώς, τουλάχιστον ένας εκ των a,b,c

είναι $<\dfrac{1}{\sqrt{8}}$ .

Ανισοτικές σχέσεις

Ανισοτικές σχέσεις

Re: Ανισοτικές σχέσεις

Re: Ανισοτικές σχέσεις

Μέλη σε σύνδεση