Από ανισότητα σε ανισότητα!

#1

Αν $\displaystyle{x\in \mathbb{R}}$ , $\displaystyle{y\geq 0}$ και $\displaystyle{y(y+1)\leq (x+1)^2}$ , να αποδείξετε ότι $\displaystyle{y(y-1)\leq x^2.}$

Ορέστης Λιγνός · #2

Καλησπέρα Θάνο.

Έστω $y \leqslant 1$ . Τότε, $y(y-1) \leqslant 0 \leqslant x^2$ , και η ανισότητα δείχτηκε.

Έστω λοιπόν y>1

.

Είναι $y(y+1) \leqslant (x+1)^2 \Rightarrow x^2 \geqslant y^2+y-2x-1$ (1).

Έστω $2y \geqslant 2x+1$ .

Τότε, $(1) \Rightarrow x^2 \geqslant y^2+y-2x-1 \geqslant y^2+y-2y=y^2-y$ , ό.ε.δ.

Υποθέτουμε λοιπόν ότι 2y<2x+1

.

Τότε, (χρησιμοποιούμε ότι y-1>0

)

$y(y-1) <\dfrac{2x+1}{2} \cdot \dfrac{2x-1}{2}=x^2-\dfrac{1}{4}<x^2$ .

Όποτε, η ανισότητα δείχτηκε για όλες τις περιπτώσεις.

#3

matha έγραψε:Αν $\displaystyle{x\in \mathbb{R}}$ , $\displaystyle{y\geq 0}$ και $\displaystyle{y(y+1)\leq (x+1)^2}$ , να αποδείξετε ότι $\displaystyle{y(y-1)\leq x^2.}$

Αφού απαντήθηκε, ας μου επιτραπεί να επισημάνω ότι η παραπάνω είναι μια λίγο πιο απλή διατύπωση του προβλήματος Β2 του διαγωνισμού Putnam 1988. Η διαφορά είναι ότι η διατύπωση του προβλήματος του Putnam ξεκινούσε με "Prove or disprove..."

Μια άλλη ιδέα είναι η παρακάτω:

Όπως στην παραπάνω λύση ας υποθέσουμε ότι y>1.

Παίρνοντας την τετραγωνική ρίζα των δύο μελών της δοθείσας $(x+1)^2\geq y(y+1)$ και χρησιμοποιώντας την τριγωνική ανισότητα παίρνουμε

$\displaystyle{|x|+1\geq |x+1|\geq \sqrt{y(y+1)}> 1+\sqrt{y(y-1)}},$ αφού

$\displaystyle{ \begin{aligned} \sqrt{y(y+1)}-\sqrt{y(y-1)}-1&=\dfrac{2\sqrt{y}}{\sqrt{y+1}+\sqrt{y-1}}-1\\ &=\dfrac{(\sqrt{y}-\sqrt{y-1})-(\sqrt{y+1}-\sqrt{y})}{\sqrt{y+1}+\sqrt{y-1}}\\ &=\dfrac{\frac{1}{\sqrt{y}+\sqrt{y-1}}-\frac{1}{\sqrt{y+1}+\sqrt{y}}}{\sqrt{y+1}+\sqrt{y-1}}\\ &=\dfrac{\sqrt{y+1}-\sqrt{y-1}}{(\sqrt{y}+\sqrt{y-1})(\sqrt{y+1}+\sqrt{y})(\sqrt{y+1}+\sqrt{y-1}) }\\ &>0.\\ \end{aligned}}$

Άρα για y>1,

παίρνουμε $|x|>\sqrt{y(y-1)}$ , και τετραγωνίζοντας τα δύο μέλη παίρνουμε x^2>y(y-1).

Φιλικά,

Αχιλλέας

Από ανισότητα σε ανισότητα!

Από ανισότητα σε ανισότητα!

Re: Από ανισότητα σε ανισότητα!

Re: Από ανισότητα σε ανισότητα!

Μέλη σε σύνδεση