Σύγκριση αριθμών

Datis-Kalali · #1

Να συγκρίσετε τους αριθμούς $A={\sqrt{7}}^{\sqrt{3}}$ , $B={\sqrt{5}}^{\sqrt{5}}$ , $C={\sqrt{3}}^{\sqrt{7}}$
Πηγή: Ιραν

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #2

Αρχικά θα συγκρίνουμε τους αριθμούς $\sqrt{7}^\sqrt{3}$ και $\sqrt{3}^\sqrt{7}$

Θα αποδείξουμε πως $\sqrt{7}^{\sqrt{3}} > \sqrt{3}^{\sqrt{7}}$

Έχουμε:

$\sqrt{7}^{\sqrt{3}} > \sqrt{3}^{\sqrt{7}}\Leftrightarrow (\sqrt{7}^{\sqrt{3}})^{2\sqrt{3}}>(\sqrt{3}^{\sqrt{7}})^{2\sqrt{3}}\Leftrightarrow 7^3>3^{\sqrt{21}}$

Όμως βρίσκουμε πως $\sqrt{21}<\sqrt{25}=5$

Άρα αρκεί $7^3>3^{5}\Leftrightarrow 343>243$ που ισχύει.

Θα συγκρίνουμε τώρα τους αριθμούς $\sqrt{5}^{\sqrt{5}}$ και $\sqrt{7}^{\sqrt{3}}$

Θα αποδείξουμε πως $\sqrt{5}^{\sqrt{5}}>\sqrt{7}^{\sqrt{3}}$

Έχουμε:

$\sqrt{5}^{\sqrt{5}}>\sqrt{7}^{\sqrt{3}}\Leftrightarrow (\sqrt{5}^{\sqrt{5}})^{2\sqrt{5}}>(\sqrt{7}^{\sqrt{3}})^{2\sqrt{5}}\Leftrightarrow 5^5>7^\sqrt{15}$

Όμως έχουμε πως $\sqrt{15}<4$ , άρα αρκεί 5^5>7^4

που ισχύει καθώς 5^5=3125

και

Συνοψίζοντας B>A>C

.

Σύγκριση αριθμών

Σύγκριση αριθμών

Re: Σύγκριση αριθμών

Μέλη σε σύνδεση