Βρείτε τα υπόλοιπα

#1

: Βρείτε πλευρές και διαγώνιες.png (9.42 KiB) Προβλήθηκε 1202 φορές

Στο τετράπλευρο του σχήματος είναι $\widehat A=\widehat C=90^\circ$ και BC=24, CD=7, AB=AC.

Να βρείτε τα μήκη των άλλων δύο πλευρών και των διαγωνίων του τετραπλεύρου.

Δεκτές και λύσεις εκτός φακέλου. Κερδίζει η στοιχειωδέστερη.

#2

george visvikis έγραψε: ↑
Σάβ Οκτ 30, 2021 10:54 am
Βρείτε πλευρές και διαγώνιες.png
Στο τετράπλευρο του σχήματος είναι $\widehat A=\widehat C=90^\circ$ και

Να βρείτε τα μήκη των άλλων δύο πλευρών και των διαγωνίων του τετραπλεύρου.

Δεκτές και λύσεις εκτός φακέλου. Κερδίζει η στοιχειωδέστερη.

: Βρείτε τα υπόλοιπα.png (25.75 KiB) Προβλήθηκε 1187 φορές

Έστω

το ύψος (άρα και διάμεσος ) του ισοσκελούς τριγώνου $\vartriangle CAB$ και με $DC\parallel AM$ (κάθετες στην ίδια ευθεία) η

θα διέρχεται και από το μέσο

της

, άρα $MN=\dfrac{DC}{2}=\dfrac{7}{2}$
Από Π.Θ στο τρίγωνο $\vartriangle DCB\Rightarrow \ldots DB=25\Rightarrow AN=\dfrac{BD}{2}=\dfrac{25}{2}\Rightarrow AM=AN+MN=16$
Από Π.Θ στο $\vartriangle AMB\Rightarrow \ldots AB=AC=20$ και από Π.Θ στο $\vartriangle ABD\Rightarrow AD=15$

#3

Προφανώς $DB = \sqrt {{{24}^2} + {7^2}} = \sqrt {625} = 25$ .

Κατασκευή σχήματος

Γράφω κύκλο διαμέτρου , $\overline {DOB} = 25$ και έστω το σημείο

του βόρειου ημικυκλίου με DC = 7

άρα

.

Φέρνω τη διχοτόμο της $\widehat {BDC}$ και τέμνει το βόρειο ημικύκλιο στο

. Το αντιδιαμετρικό του

μας ορίζει την τέταρτη κορυφή του τετραπλεύρου ABCD

: Βρείτε τα υπόλοιπα.png (22.96 KiB) Προβλήθηκε 1161 φορές

Αν

το σημείο τομής των $BC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SA$ είναι προφανώς το

μέσο του

οπότε:

$\left\{ \begin{gathered} CM = 12 \hfill \\ SM = \frac{{25 - 7}}{2} = 9 \hfill \\ AM = 25 - 9 = 16 \hfill \\ {x^2} = C{S^2} = 9 \cdot 25 = {\left( {3 \cdot 5} \right)^2} \hfill \\ {y^2} = A{C^2} = 16 \cdot 25 = {\left( {4 \cdot 5} \right)^2} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ . Άρα $\left\{ \begin{gathered} x = 15 \hfill \\ y = 20 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Ιστοσελίδα · #4

george visvikis έγραψε: ↑
Σάβ Οκτ 30, 2021 10:54 am

Στο τετράπλευρο του σχήματος είναι $\widehat A=\widehat C=90^\circ$ και

Να βρείτε τα μήκη των άλλων δύο πλευρών και των διαγωνίων του τετραπλεύρου.

Δεκτές και λύσεις εκτός φακέλου. Κερδίζει η στοιχειωδέστερη.

Χωρίς λόγια!

: 2021-10-30_18-05-52.png (35.48 KiB) Προβλήθηκε 1135 φορές

ΦΙΛΙΠΠΟΣ ΚΑΛΟΥΔΗΣ · #5

Με πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο BDC

έχουμε: $BD^2=CD^2+BC^2\Leftrightarrow BD^2=625\Leftrightarrow BD=25$ .

Παράλληλα, με πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο ABD

έχουμε: $BD^2=AD^2+AB^2\Leftrightarrow 625=AD^2+AB^2\Leftrightarrow AD^2=625-AB^2 (1)$ .

Τώρα, επειδή $\widehat{A}=\widehat{C}=90^{\circ}$ , το τετράπλευρο ABCD

είναι εγγράψιμο.

Συνεπώς, με το θεώρημα του Πτολεμαίου στο τετράπλευρο ABCD

παίρνουμε: $BD \cdot AC=AD\cdot CB+DC\cdot AB \Leftrightarrow 25AB=24\sqrt{625-AB^2}+7AB\Leftrightarrow 18AB=24\sqrt{625-AB^2}\Leftrightarrow 324AB^2=576(625-AB^2)\Leftrightarrow AB^2=400\Leftrightarrow AB=20=AC$

Από την (1)

έχουμε: $AD^2=225\Leftrightarrow AD=15$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #6

george visvikis έγραψε: ↑
Σάβ Οκτ 30, 2021 10:54 am
Βρείτε πλευρές και διαγώνιες.png
Στο τετράπλευρο του σχήματος είναι $\widehat A=\widehat C=90^\circ$ και

Να βρείτε τα μήκη των άλλων δύο πλευρών και των διαγωνίων του τετραπλεύρου.

Δεκτές και λύσεις εκτός φακέλου. Κερδίζει η στοιχειωδέστερη.

Από Π.Θ είναι BD=25

κι αν

ο Πτολεμαίος δίνει $24y+7x=25x \Rightarrow y= \dfrac{3}{4}x$

Ακόμη x^2+y^2=625

και το απλό σύστημα δίνει x=20

και

: βρείτε τα υπόλοιπα.png (27.88 KiB) Προβλήθηκε 1086 φορές

Ιστοσελίδα · #7

george visvikis έγραψε: ↑
Σάβ Οκτ 30, 2021 10:54 am

Στο τετράπλευρο του σχήματος είναι $\widehat A=\widehat C=90^\circ$ και

Να βρείτε τα μήκη των άλλων δύο πλευρών και των διαγωνίων του τετραπλεύρου.

Δεκτές και λύσεις εκτός φακέλου. Κερδίζει η στοιχειωδέστερη.

Ακόμα μία!

: shape.png (18.28 KiB) Προβλήθηκε 1062 φορές

$7m + 25m = 24k \Leftrightarrow m = \dfrac{{3k}}{4}$ και από Πυθαγόρειο: $k = \dfrac{4}{5},\,m = \dfrac{3}{5}$

Έτσι, $AD = 25m = 15,\,AB = AC = 25k = 20$

Βρείτε τα υπόλοιπα

Βρείτε τα υπόλοιπα

Re: Βρείτε τα υπόλοιπα

Re: Βρείτε τα υπόλοιπα

Re: Βρείτε τα υπόλοιπα

Re: Βρείτε τα υπόλοιπα

Re: Βρείτε τα υπόλοιπα

Re: Βρείτε τα υπόλοιπα

Μέλη σε σύνδεση