Θαυμαστός ακέραιος

KARKAR · #1

: Θαυμαστός ακέραιος.png (13.87 KiB) Προβλήθηκε 62 φορές

Στην διάμετρο AB=10

, ενός ημικυκλίου θεωρούμε σημείο

, τέτοιο ώστε : $AT=\dfrac{n}{10}$ , με :

$n \in \{1 , 2 , 3 ,... , 98 , 99 \}$ και υψώνω το κάθετο τμήμα

. Τυχούσα χορδή

τέμνει το

στο σημείο

. Δείξτε ότι το γινόμενο : $AQ\cdot AS$ , είναι αριθμός ακέραιος .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Μάιος 02, 2026 11:35 am
Θαυμαστός ακέραιος.pngΣτην διάμετρο , ενός ημικυκλίου θεωρούμε σημείο , τέτοιο ώστε : $AT=\dfrac{n}{10}$ , με :

$n \in \{1 , 2 , 3 ,... , 98 , 99 \}$ και υψώνω το κάθετο τμήμα . Τυχούσα χορδή τέμνει το

στο σημείο . Δείξτε ότι το γινόμενο : $AQ\cdot AS$ , είναι αριθμός ακέραιος .

Επειδή $SB\perp AS$ , (γωνία ημικυκλίου) το TQSB

είναι εγγράψιμο (δύο απέναντι γωνίες ορθές). Άρα από την δύναμη του σημείου

ως προς τον κύκλο TQSB

έχουμε

$AQ\cdot AS= AT\cdot AB = \dfrac {n}{10}\cdot 10 = n \in \mathbb N$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Μάιος 02, 2026 11:35 am
Θαυμαστός ακέραιος.pngΣτην διάμετρο , ενός ημικυκλίου θεωρούμε σημείο , τέτοιο ώστε : $AT=\dfrac{n}{10}$ , με :

$n \in \{1 , 2 , 3 ,... , 98 , 99 \}$ και υψώνω το κάθετο τμήμα . Τυχούσα χορδή τέμνει το

στο σημείο . Δείξτε ότι το γινόμενο : $AQ\cdot AS$ , είναι αριθμός ακέραιος .

Από τα όμοια τρίγωνα ATQ, ASB,

είναι $\displaystyle \frac{{AQ}}{{AB}} = \frac{{AT}}{{AS}} \Leftrightarrow AQ \cdot AS = AT \cdot AB = \frac{n}{{10}} \cdot 10 = n$

Με πρόλαβε ο Μιχάλης. Το αφήνω.

Θαυμαστός ακέραιος

Θαυμαστός ακέραιος

Re: Θαυμαστός ακέραιος

Re: Θαυμαστός ακέραιος

Μέλη σε σύνδεση