Από τους μεγάλους στους μικρούς

KARKAR · #1

: Από τους μεγάλους στους μικρούς.png (15.39 KiB) Προβλήθηκε 303 φορές

Στην μεγαλύτερη πλευρά AB=a

, του - διαστάσεων $a\times b$ - ορθογωνίου ABCD

κινείται σημείο

. Φέρουμε

$ST \parallel BD$ . Υπολογίστε το εμβαδόν του τριγώνου CST

. Για ποια θέση του

είναι : $(CST)=\dfrac{(ABCD)}{3 }$ ;

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 10, 2025 9:42 am
Από τους μεγάλους στους μικρούς.pngΣτην μεγαλύτερη πλευρά , του - διαστάσεων $a\times b$ - ορθογωνίου κινείται σημείο . Φέρουμε

$ST \parallel BD$ . Υπολογίστε το εμβαδόν του τριγώνου . Για ποια θέση του είναι : $(CST)=\dfrac{(ABCD)}{3 }$ ;

Από τα όμοια τρίγωνα AST, ABT

είναι $AT= \dfrac {b}{a} x$ .

Το εμβαδόν (CST)

είναι όσο το (ABCD)

μείον τα τρία λευκά τρίγωνα. Εδώ

$ab- \dfrac {1}{2}\left (x\cdot \dfrac {b}{a} x + (a-x)b+ \left (b-\dfrac {b}{a} x\right )a\right )= bx- \dfrac {b}{2a} x^2$

H δοθείσα συνθήκη γράφεται $bx- \dfrac {b}{2a} x^2= \dfrac {1}{3} ab$ . Λύνοντας θα βρούμε $x= \dfrac {3\pm \sqrt 3}{3} a$ , και κρατάμε το πλην.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 10, 2025 9:42 am
Από τους μεγάλους στους μικρούς.pngΣτην μεγαλύτερη πλευρά , του - διαστάσεων $a\times b$ - ορθογωνίου κινείται σημείο . Φέρουμε

$ST \parallel BD$ . Υπολογίστε το εμβαδόν του τριγώνου . Για ποια θέση του είναι : $(CST)=\dfrac{(ABCD)}{3 }$ ;

$\triangle AST \simeq \triangle ABD \Rightarrow \dfrac{(AST)}{(ABD)}= (\dfrac{x}{a} )^2 \Rightarrow (AST)= \dfrac{bx^2}{2a}$

Με CE//ST//BD

είναι $(CST)=(ETS)=(EAS)-(AST)= \dfrac{2bx}{2}- \dfrac{bx^2}{2a}=bx- \dfrac{bx^2}{2a}$

$bx- \dfrac{bx^2}{2a}= \dfrac{1}{3} \Rightarrow ....x= \dfrac{3- \sqrt{3} }{3}a$

: Από τους μικρούς....png (29 KiB) Προβλήθηκε 289 φορές

Nikitas K. · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 10, 2025 9:42 am
Από τους μεγάλους στους μικρούς.png Στην μεγαλύτερη πλευρά , του - διαστάσεων $a\times b$ - ορθογωνίου κινείται σημείο . Φέρουμε

$ST \parallel BD$ . Υπολογίστε το εμβαδόν του τριγώνου . Για ποια θέση του είναι : $(CST)=\dfrac{(ABCD)}{3 }$ ;

: Από τους μεγάλους στους μικρούς.png (16.76 KiB) Προβλήθηκε 281 φορές

Οι συντελεστές διεύθυνσης των (νοητών) ευθειών

και

είναι $-\dfrac{t}{s}$ και $-\dfrac{b}{a}$ αντίστοιχα όμως επειδή είναι παράλληλες, τότε είναι ίσοι άρα $t = \dfrac{b}{a}s$

Η ορίζουσα των διανυσμάτων $\overrightarrow{CS}$ και $\overrightarrow{CT}$ είναι:

$\begin{vmatrix} -a & \dfrac{bs}{a}-b \\\\ s-a & -b \end{vmatrix} = \dfrac{bs(2a-s)}{a}$

Άρα $(\triangle CST) = \dfrac{1}{2} \cdot \left | \dfrac{bs(2a-s)}{a} \right | \underset{s<a}{\overset{0<b<a}{=}} \dfrac{bs(2a-s)}{2a}$

Δεδομένου ότι πρέπει να ισχύει $(CST)=\dfrac{(ABCD)}{3}$ προκύπτει ότι 3s^2 - as + 2a^2 = 0

από όπου λύνοντας ως προς

δεχόμαστε μόνο τη ρίζα $\dfrac{3-\sqrt{3}}{3}a$

Εν τέλει η ζητούμενη θέση του

είναι το σημείο $\left(\dfrac{3-\sqrt{3}}{3}a, 0\right)$

Από τους μεγάλους στους μικρούς

Από τους μεγάλους στους μικρούς

Re: Από τους μεγάλους στους μικρούς

Re: Από τους μεγάλους στους μικρούς

Re: Από τους μεγάλους στους μικρούς

Μέλη σε σύνδεση