Δύσκολο 10

KARKAR · #1

: Δύσκολο 10.png (8.92 KiB) Προβλήθηκε 1138 φορές

Πάνω στην διάμετρο AB=8

, ενός ημικυκλίου , ολισθαίνει τμήμα SP=6

. Στο άκρο

υψώνω

κάθετη , η οποία τέμνει το τόξο στο

. Για ποια θέση του

, προκύπτει : ST+TP=10

;

Manolis Petrakis · #2

Είναι

και από ΠΘ στο TSP

έχουμε:
$TP^2-TS^2=SP^2\Leftrightarrow 10(TP-TS)=36\Leftrightarrow TP-TS=3,6 (2)$
Από τις (1),(2)

είναι

και

Είναι από τα όμοια ATS

$BTS: (AS)(BS)=(ST^2) \Leftrightarrow (AS)(BS)=(3,2)^2=10,24 (3)$
Ακόμη είναι AB=AS+BS=8 (4)

. Έστω

Από τις

είναι:

και $y=8-x\Rightarrow x(8-x)=10,24\Leftrightarrow x^2-8x+10,24=0\Leftrightarrow x=1,6$ ή x=6,4=8-1,6

Έτσι το

απέχει

από το

ή το

#3

Όπως ο Manolis αλλά σταματάω στην εύρεση του TS,

Απ' όπου προσδιορίζεται η θέση του

: Δ10.png (10.29 KiB) Προβλήθηκε 1087 φορές

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} x + y = 10\\ \\ {y^2} = {x^2} + 36 \end{array} \right. \Rightarrow {(10 - x)^2} = {x^2} + 36 \Leftrightarrow$ $\boxed{x=\frac{16}{5}}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Πέμ Οκτ 22, 2020 1:25 pm
Δύσκολο 10.pngΠάνω στην διάμετρο , ενός ημικυκλίου , ολισθαίνει τμήμα . Στο άκρο υψώνω

κάθετη , η οποία τέμνει το τόξο στο . Για ποια θέση του , προκύπτει : ;

Με $CS=8\Rightarrow PC=10$ κι έστω ο κύκλος (P,y=10-x)

$CT.CZ=CD.CE\Rightarrow (8-x)(8+x)=x(20-x) \Rightarrow x= \dfrac{16}{5}$

: Δύσκολο 10.png (70.79 KiB) Προβλήθηκε 1054 φορές

#5

Έστω λυμένο το πρόβλημα , Τότε το ορθογώνιο τρίγωνο STP

θα έχει σταθερή περίμετρο 2s = 16

.

: Δύσκολο 10.png (24.58 KiB) Προβλήθηκε 1030 φορές

Ας είναι $TS = x\,\,,\,\,TP = y\,\,$ ,

η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου του $\vartriangle TSP$ και

το εμβαδόν του .

Θα ισχύουν $\left\{ \begin{gathered} E = 3x = 8r \hfill \\ r = 8 - TS = 8 - (10 - x) \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow 3x = 8(x - 2)$ και άρα $\boxed{x = \frac{{16}}{5}}$

nickchalkida · #6

Θεωρώ το

σταθερό, και το

να κινείται αριστερά, από το

.
Το

τότε ανήκει στην έλλειψη με εστίες

,

και

.
Με μεταφορά του κέντρου της έλλειψης στο κέντρο των αξόνων, αυτή γράφεται

$\displaystyle{ {x^2 \over 25} + {y^2 \over 16} = 1 }$

Αλλά το

βρίσκεται και σε κύκλο διαμέτρου AB=8

. Αυτό προσδιορίζει και το

.
Για

βρίσκω

$\displaystyle{ {y^2 \over 16} = 1 - {9 \over 25} \rightarrow y = {16 \over 5} }$

Δύσκολο 10

Δύσκολο 10

Re: Δύσκολο 10

Re: Δύσκολο 10

Re: Δύσκολο 10

Re: Δύσκολο 10

Re: Δύσκολο 10

Μέλη σε σύνδεση