Ακέραιες λύσεις

KARKAR · #1

Βρείτε τις ακέραιες λύσεις του συστήματος : $\left\{\begin{matrix} x+y+x^2y^2 &=41 \\ & \\ x^2+y^2+xy&=31 \\ \end{matrix}\right.$

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Απρ 15, 2026 8:17 am
Βρείτε τις ακέραιες λύσεις του συστήματος : $\left\{\begin{matrix} x+y+x^2y^2 &=41 \\ & \\ x^2+y^2+xy&=31 \\ \end{matrix}\right.$

.
Aν

λύση τότε λόγω συμμετρίας είναι και η (b,a)

, οπότε μπορούμε χωρίς βλάβη να υποθέσουμε ότι $|y|\ge |x|$ .

H δεύτερη ως δευτεροβάθμια ως προς

έχει διακρίνουσα D=y^2-4(y^2-31)=124-3y^2

. Άρα $y^2\le 41$ ή αλλιώς $|y|\le 6$

Επίσης από την δεύτερη έχουμε $31= x^2+y^2+xy \le x^2+y^2+\dfrac {x^2+ y^2}{2} \le y^2+y^2+\dfrac {y^2+ y^2}{2}=3y^2$ . Άρα $|y| \ge 4$ .

Με άλλα λόγια οι πιθανές τιμές του |y|

είναι

, ή αλλιώς $y= \pm 4, \pm 5, \pm 6$ .

Τις δοκιμάζουμε μία προς μία με το χέρι στις δύο εξισώσεις (ή ευκολότερα βρίσκουμε για ποιες από αυτές η

είναι τέλειο τετράγωνο). Θα βρούμε λύση την $\boxed {y=6, x=-1}$ (και την συμμετρική της $\boxed {x=6, y=-1}$ )

.

#3

Καλημέρα σε όλους. Μία μακροσκελής απάντηση. Θα χαρώ να δω κάτι συντομότερο.

Θέτω $\displaystyle x + y = a,\;\;xy = b$ , οπότε $\displaystyle {x^2} + {y^2} = {\left( {x + y} \right)^2} - 2xy = {a^2} - 2b$

το σύστημα γίνεται $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} a + {b^2} = 41\\ {a^2} - b = 31 \end{array} \right.$
Αφαιρώντας κατά μέλη, έχουμε $\displaystyle {b^2} - {a^2} + \left( {a + b} \right) = 10 \Leftrightarrow \left( {b - a + 1} \right)\left( {a + b} \right) = 10$

Αν $a \ge 1$ , τότε $a+b \ge b-a+1$

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} a + b = 10\\ b - a = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = 5$ Τα x, y

είναι ρίζες της εξίσωσης $\displaystyle {t^2} - 5t + 5 = 0$ που είναι αδύνατη στο

.

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} a + b = 5\\ b - a = 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 2\\ b = 3 \end{array} \right.$ Τα x, y

είναι ρίζες της εξίσωσης $\displaystyle {t^2} - 2t + 3 = 0$ που είναι αδύνατη στο

.

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} a + b = - 1\\ b - a = - 11 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 5\\ b = - 6 \end{array} \right.$ Τα x, y

είναι ρίζες της εξίσωσης $\displaystyle {t^2} - 5t - 6 = 0$ με (κυκλικές) τιμές -1, 6

.

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} a + b = - 2\\ b - a = - 6 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = 2\\ b = - 4 \end{array} \right.$ Τα x, y

είναι ρίζες της εξίσωσης $\displaystyle {t^2} - 2t - 4 = 0$ που δεν είναι ακέραιες.

Αν $a \le 1$ , τότε $a+b \le b-a+1$

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} a + b = 1\\ b - a = 9 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = - 4\\ b = 5 \end{array} \right.$ Τα x, y

είναι ρίζες της εξίσωσης $\displaystyle {t^2} + 4t + 5 = 0$ που είναι αδύνατη στο

.

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} a + b = 2\\ b - a = 4 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = - 1\\ b = 3 \end{array} \right.$ Τα x, y

είναι ρίζες της εξίσωσης $\displaystyle {t^2} + t + 3 = 0$ που είναι αδύνατη στο

.

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} a + b = - 10\\ b - a = - 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = - 4\\ b = - 6 \end{array} \right.$ Τα x, y

είναι ρίζες της εξίσωσης $\displaystyle {t^2} + 4t - 6 = 0$ που δεν είναι ακέραιες.

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} a + b = - 5\\ b - a = - 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = - 1\\ b = - 4 \end{array} \right.$ Τα x, y

είναι ρίζες της εξίσωσης $\displaystyle {t^2} + t - 4 = 0$ που δεν είναι ακέραιες.

Ακέραιες λύσεις: x=-1, y= 6

και

, που επαληθεύουν την αρχική.

edit: Στο χρόνο (όχι λίγο...) που χρειάστηκε να ανέβει η ανάρτησή μου, είχε ήδη απαντήσει ο Μιχάλης.
Ευχαριστώ τον Κώστα για τη διαφορετική και ταχύτερη προσέγγιση

abgd · #4

Γιώργος Ρίζος έγραψε: ↑
Τετ Απρ 15, 2026 9:33 am
Καλημέρα σε όλους. Μία μακροσκελής απάντηση. Θα χαρώ να δω κάτι συντομότερο.

Θέτω $\displaystyle x + y = a,\;\;xy = b$ , οπότε $\displaystyle {x^2} + {y^2} = {\left( {x + y} \right)^2} - 2xy = {a^2} - 2b$

το σύστημα γίνεται $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} a + {b^2} = 41\\ {a^2} - b = 31 \end{array} \right.$

Γιώργο, θα μπορούσαμε να το συνεχίσουμε ως εξής:

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} a + \left(31-a^2\right)^2 = 41\\ b=31-{a^2} \end{array} \right.$

Η πρώτη εξίσωση γίνεται:

$a + \left(a^2-31\right)^2 = 5+36\Leftrightarrow a-5+\left(a^2-31\right)^2-6^2=0 \Leftrightarrow a-5+(a^2-25)(a^2-37)=0\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow (a-5)\left(1+(a+5)(a^2-37)\right)=0$

Δεδομένου ότι το

είναι ακέραιος, η δεύτερη παρένθεση, στην τελευταία εξίσωση, είναι εύκολο να δείξουμε ότι δεν μπορεί να είναι μηδέν

οπότε

$\displaystyle{a=5}$ και από την $\displaystyle{b=31-{a^2}}$ θα είναι $\displaystyle{b=-6}$
....

Ακέραιες λύσεις

Ακέραιες λύσεις

Re: Ακέραιες λύσεις

Re: Ακέραιες λύσεις

Re: Ακέραιες λύσεις

Μέλη σε σύνδεση