Εκθετική Εξίσωση

#1

Να επιλυθεί στο $\mathbb R$ η εξίσωση

$\displaystyle{2^{\frac {1}{x}}x+ \frac {2^x}{x} = 4}$

Ας την αφήσουμε 24 ώρες στους μαθητές μας.

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #2

Καλημέρα!
Αρχικά πρέπει $x\neq 0$
Αν x<0

τότε πάντα $2^{\frac{1}{x}}x+\frac{2^{x}}{x}<0<4$
Άρα x>0

Θεωρούμε τις συναρτήσεις $f(x)=2^{\frac{1}{x}}x$ , $g(x)=\frac{2^{x}}{x}$
Επειδή και οι δύο είναι γνησίως αύξουσες θα είναι και η $q(x)=f(x)+g(x)=2^{\frac{1}{x}}x+\frac{2^{x}}{x}$
Aν x>2

τότε

.
Παίρνουμε x=1

και προκύπτει 2+2=4

που ισχύει.Άρα μοναδική λύση είναι η x=1

.

Λάμπρος Κατσάπας · #3

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 27, 2018 12:47 pm
Καλημέρα!
Αρχικά πρέπει $x\neq 0$
Αν τότε πάντα $2^{\frac{1}{x}}x+\frac{2^{x}}{x}<0<4$
Άρα
Θεωρούμε τις συναρτήσεις $f(x)=2^{\frac{1}{x}}x$ , $g(x)=\frac{2^{x}}{x}$
Επειδή και οι δύο είναι γνησίως αύξουσες θα είναι και η $q(x)=f(x)+g(x)=2^{\frac{1}{x}}x+\frac{2^{x}}{x}$
Aν τότε .
Παίρνουμε και προκύπτει που ισχύει.Άρα μοναδική λύση είναι η .

Γεια σου Πρόδρομε και χρόνια πολλά!

Mετά την παρατήρηση ότι αναζητούμε λύσεις για x>0

μπορείς να δουλέψεις και με τις κλασικές ανισότητες $a>0\Rightarrow a+\frac{1}{a}\geq 2,$ $a,b \geq 0 \Rightarrow a+b\geq 2\sqrt{ab}.$

#4

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 27, 2018 12:47 pm

Θεωρούμε τις συναρτήσεις $f(x)=2^{\frac{1}{x}}x$ , $g(x)=\frac{2^{x}}{x}$
Επειδή και οι δύο είναι γνησίως αύξουσες

Πρόδρομε, για ξαναδές το αυτό.

Κω.Κωνσταντινίδης · #5

Μια ερώτηση. Μια εκθετική μπορεί να έχει περισσότερες από μια λύσεις? Και κάτι ακόμα. Αφού την επιλύουμε στο R, γιατί βρήκαμε μόνο για x<2, x=1;
Θα παραθέσω τη λύση μου.
Για X< 0

το αριστερό μέλος είναι αρνητικό, άτοπο.
Για $x\geq 0$ από AM-GM

έχουμε $2^{\frac{1}{x}}x+\frac{2^{x}}{x}=4\geq 2^{\frac{1+x^{2}}{x}}\Leftrightarrow 2\geq \frac{1+x^{2}}{x}\Leftrightarrow 0\geq (x-1)^{2}$ άρα x=1

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #6

Έχετε δίκιο κύριε Μιχάλη

Και στις

συναρτήσεις η μονοτονία αλλάζει μεταξύ των

και

άρα θα προτιμήσουμε την λύση του κύριου Λάμπρου Κατσάπα με εφαρμογή της AM-GM.

#7

Κω.Κωνσταντινίδης έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 27, 2018 2:07 pm
Μια ερώτηση. Μια εκθετική μπορεί να έχει περισσότερες από μια λύσεις?

Γενικά, μπορεί να έχει όσες λύσεις θέλεις. Να μία με δύο: 2^x=x^2

. Μία ρίζα είναι η x=2

και έχει μία στο διάστημα [-1,0]

.

Εκθετική Εξίσωση

Εκθετική Εξίσωση

Re: Εκθετική Εξίσωση

Re: Εκθετική Εξίσωση

Re: Εκθετική Εξίσωση

Re: Εκθετική Εξίσωση

Re: Εκθετική Εξίσωση

Re: Εκθετική Εξίσωση

Μέλη σε σύνδεση