γενίκευση

#1

Στο εσωτερικό γωνίας $\angle xOy$ θεωρούμε σημείο

Μεταβλητή ευθεία $\varepsilon$ διέρχεται από το

και τέμνει τις πλευρές της γωνίας στα σημεία B,C.

Να βρεθεί η θέση της ευθείας στην οποία το εμβαδόν του τριγώνου OBC

γίνεται ελάχιστο.

Ομοίως, αν το σημείο

αντικατασταθεί από κύκλο κέντρου

και η ευθεία $\varepsilon$ από εφαπτομένη του κύκλου.

Και απαντήσαμε εδώ: viewtopic.php?f=62&t=65893

KARKAR · #2

: Γενίκευση.png (11.32 KiB) Προβλήθηκε 4569 φορές

Για το βασικό ερώτημα : Σχηματίζω το παραλληλόγραμμο OTAS

, το οποίο έχει σταθερό εμβαδόν .

Θέλω το ελάχιστο του : (ATB)+(CSA)

. Τα τρίγωνα είναι όμοια και από : $\dfrac{y}{a}=\dfrac{b}{x}$ , παίρνω : $y=\dfrac{ab}{x}$ .

Είναι : $(ATB)+(CSA)=\dfrac{1}{2}bx\sin\theta+\dfrac{1}{2}\dfrac{a^2b}{x}\sin\theta=\dfrac{1}{2}b\sin\theta(x+\dfrac{a^2}{x})\geq\dfrac{1}{2}b\sin\theta 2a=ab\sin\theta$ ,

για x=a

, συνεπώς

, δηλαδή το

πρέπει να είναι το μέσο της

.

Το θέμα είναι βέβαιο ότι έχει ξανατεθεί στο forum .

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 04, 2020 10:41 am
Γενίκευση.png Για το βασικό ερώτημα : Σχηματίζω το παραλληλόγραμμο , το οποίο έχει σταθερό εμβαδόν .

Θέλω το ελάχιστο του : . Τα τρίγωνα είναι όμοια και από : $\dfrac{y}{a}=\dfrac{b}{x}$ , παίρνω : $y=\dfrac{ab}{x}$ .

Είναι : $(ATB)+(CSA)=\dfrac{1}{2}bx\sin\theta+\dfrac{1}{2}\dfrac{a^2b}{x}\sin\theta=\dfrac{1}{2}b\sin\theta(x+\dfrac{a^2}{x})\geq\dfrac{1}{2}b\sin\theta 2a=ab\sin\theta$ ,

για , συνεπώς , δηλαδή το πρέπει να είναι το μέσο της .

Το θέμα είναι βέβαιο ότι έχει ξανατεθεί στο forum .

Και έχει συζητηθεί στο

και ήταν θέμα εισαγωγικών εξετάσεων ( Ακαδημαϊκό απολυτήριο 1965)

Αλλά απαιτούσε τότε αμιγώς γεωμετρική λύση .

Πάντως η πιο πάνω λύση είναι αρκετά όμορφη.

Υπάρχει παρόμοιο θέμα που είχε τεθεί πιο παλιά ακόμα στη Σ.Μ.Α.

#4

Για το πρώτο ερώτημα:

: Γενίκευση.ΚΡ..png (15.32 KiB) Προβλήθηκε 4530 φορές

Κατασκευή: Έστω

η προβολή του

στην

(*) και

το αντιδιαμετρικό του

ως προς τον κύκλο (A, AK).

Από το

φέρνω ευθεία $\epsilon||Ox$ που τέμνει την

στο

Η

που τέμνει την

στο

είναι η ζητούμενη ευθεία.

Απόδειξη: Μία άλλη ευθεία που διέρχεται από το

τέμνει τις Ox, Oy

στα

αντίστοιχα και την $(\epsilon)$ στο

$\displaystyle (OB'C') = (OBC) + (ABB') - (ACC') = (OBC) + (ADC) - (ACC') \Rightarrow$

$\displaystyle (OB'C') = (OBC) + (CC'D) > (OBC)$

(*) H κατασκευή γίνεται και για οποιοδήποτε σημείο

της

και

το συμμετρικό του ως προς

KARKAR · #5

Ιδού και μία λύση από τον Σωτήρη Λουρίδα εδώ ,

καθώς και μία δεύτερη από τον ...KARKAR , εκεί .

Βισβίκης και Λάμπρου . επίσης here .

Ψάχνοντας βρήκα τουλάχιστον άλλες 5 αναρτήσεις του θέματος !

#6

Το ενδιαφέρον, βέβαια, είναι η συνέχεια του ερωτήματος, όταν η ευθεία εφάπτεται σε κύκλο...

#7

rek2 έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 04, 2020 6:37 pm
Το ενδιαφέρον, βέβαια, είναι η συνέχεια του ερωτήματος, όταν η ευθεία εφάπτεται σε κύκλο...

Μπορεί να γίνει πιο σαφές το ερώτημα;Ο κύκλος εφάπτεται σε κάποια πλευρά της γωνίας ή βρίσκεται εξ ολοκλήρου στο εσωτερικό της γωνίας;

KARKAR · #8

: Γενίκευση συμπλήρωμα.png (20.37 KiB) Προβλήθηκε 4448 φορές

Λόγω και της παραπομπής μπορούμε να υποθέσουμε , ότι ζητείται το ελάχιστο του (OB'C')

.

Η εικασία είναι ασφαλώς , ότι αυτό θα συμβεί αν το σημείο επαφής

είναι το μέσο του B'C'

.

Στο σχήμα φαίνεται το ελάχιστο του (OBC)

, άρα αρκεί να ελαχιστοποιήσουμε το (BCC'B')

...

#9

Το αρχικό ερώτημα είχε πέσει στις εισαγωγικές κάπου την δεκαετία του '60. Την θυμάμαι γιατί κυκλοφορούσε στα μαθητικά μου χρόνια ως καλή άσκηση, και με είχε απασχολήσει/παιδέψει αρκετά στα πρώτα τότε βηματά μου. Είχα δώσει διάφορες λύσεις από τις οποίες μου έμεινε η καλύτερη:

Κατασκευάζουμε το παραλληλόγραμμο OBDC

(δηλαδή προεκτείνουμε την

κατά

και φέρνουμε παράλληλλες από το

προς τις δοθείσες ευθείες). Η άλλη διαγώνιος

του πραλληλογράμμου είναι η ζητούμενη. Πράγματι, για τυχαία

από το

είναι

. τα υπόλοιπα έπονται.
.

KARKAR · #10

: Γενίκευση , μια περίπτωση.png (15.28 KiB) Προβλήθηκε 4388 φορές

Ας δούμε μία περίπτωση που επιβεβαιώνει την εικασία ότι η εφαπτομένη

, της οποίας το σημείο

επαφής είναι το μέσο της , δημιουργεί το τρίγωνο ελαχίστου εμβαδού .

Έστω B'(b,0)

σημείο του

. Η εφαπτόμενη στον κύκλο : (x-6)^2+(y-2)^2=4

,

τέμνει την y=3x

στο σημείο

. Τώρα έχουμε* : $E(b)=\dfrac{6b^2(b-6)}{3b^2-32b+72}$

Η μελέτη της συνάρτησης δίνει $E_{min}=\dfrac{216}{5}$ , για b=12

. Αλλά τότε είναι $A(\dfrac{12}{5},\dfrac{36}{5})$

και εύκολα βλέπουμε ότι το σημείο επαφής $M(\dfrac{36}{5},\dfrac{15}{5})$ , είναι το μέσο του

.

* Παραλείψαμε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης , πάντως ούτως ή άλλως πρέπει ( χωρίς να αρκεί ) : b>6

#11

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 04, 2020 1:27 pm
Ιδού και μία λύση από τον Σωτήρη Λουρίδα εδώ ,

καθώς και μία δεύτερη από τον ...KARKAR , εκεί .

Βισβίκης και Λάμπρου . επίσης here .

Ψάχνοντας βρήκα τουλάχιστον άλλες 5 αναρτήσεις του θέματος !

Με αφορμή τις παραπομπές του Θανάση, συμπλήρωσα (ΕΔΩ) μια λύση που είχα αφήσει ημιτελή για 9 χρόνια και δυο μέρες...

#12

Και με την ευκαιρία, μια ακόμα λύση με άρωμα Άλγεβρας (βασικά τριωνυμίτιδας) του περασμένου αιώνα. Ξεκινώ όπως ο Θανάσης στη παραπάνω λύση του. Του υπεξαιρώ και το σχήμα. (Φαντάζομαι μού το επιτρέπει, αφού 9 χρόνια και κάτι μέρες δεν έχει διαμαρτυρηθεί...).

: 05-01-2020 Γεωμετρία.jpg (54.32 KiB) Προβλήθηκε 4361 φορές

Από την ομοιότητα των OBC, SAC

είναι $\displaystyle \frac{{{\rm O}{\rm B}}}{a} = \frac{{OC}}{{{\rm O}C - b}} \Rightarrow OB = \frac{{a \cdot OC}}{{{\rm O}C - b}}$

$\displaystyle \left( {OBC} \right) = \frac{{OB \cdot OC \cdot \eta \mu \left( {C{\rm O}B} \right)}}{2}$ (1)
Έστω $\displaystyle {\rm O}C = x,\;\;\frac{{\eta \mu \left( {COB} \right)}}{2} = c$ , με a, b, c

θετικές σταθερές και (OBC)= m

.

Τότε η (1) γίνεται $\displaystyle m = \frac{{ac{x^2}}}{{x - b}} \Leftrightarrow ac{x^2} - mx + mb = 0$ .

Πρέπει η (2) να έχει λύση, οπότε πρέπει
$\displaystyle D \ge 0 \Leftrightarrow {m^2} - 4abcm \ge 0 \Leftrightarrow m \ge 4abc$ .

Η ελάχιστη τιμή του εμβαδού

είναι ίση με 4abc

. Τότε $\displaystyle x = 2b$ , που συμβαίνει όταν το

είναι μέσο του

.

γενίκευση

γενίκευση

Re: γενίκευση

Re: γενίκευση

Re: γενίκευση

Re: γενίκευση

Re: γενίκευση

Re: γενίκευση

Re: γενίκευση

Re: γενίκευση

Re: γενίκευση

Re: γενίκευση

Re: γενίκευση

Μέλη σε σύνδεση