Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2017-18 (3)

dement · #1

Έστω

θετικοί πραγματικοί αριθμοί με $n \geqslant 2$ . Να βρεθεί αναγκαία και ικανή συνθήκη επί των d_i

για να υπάρχει ακολουθία σημείων του Ευκλείδειου επιπέδου p_0, p_1, ..., p_n

έτσι ώστε:

1) Για κάθε i = 1, ..., n

η απόσταση μεταξύ των p_i

και $p_{i-1}$ να είναι d_i

και

2)

Ένα παράδειγμα τέτοιας ακολουθίας για n=5

:

: sns3.png (47.41 KiB) Προβλήθηκε 1837 φορές

dement · #2

Επαναφορά.

#3

Πρέπει $d_1 + \cdots + d_n \geqslant 2 \max\{d_1,\ldots,d_n\}$ .

Αναγκαίο: Έστω χωρίς βλάβη της γενικότητας ότι $d_n = \max\{d_1,\ldots,d_n\}$ . Από την τριγωνική ανισότητα είναι

$\displaystyle d_n = d(p_n,p_{n-1}) = d(p_0,p_{n-1}) \leqslant d(p_0,p_1) + d(p_1,p_2) + \cdots + d(p_{n-2},p_{n-1}) = d_1 + \cdots + d_{n-1}$

Ικανό: Θα το δείξω αρχικά με την επιπλέον προϋπόθεση ότι $d_1 \leqslant \cdots \leqslant d_n$ . Θα προχωρήσω με επαγωγή στο

. Η περίπτωση n = 2

είναι άμεση αφού η συνθήκη $d_1 + d_2 \geqslant 2d_2$ δίνει d_1 = d_2

.

Θέτω $d = \max\{d_{n-2},d_n-d_{n-1}\}$ . Υπάρχει (πιθανώς εκφυλισμένο) τρίγωνο με μήκη πλευρών $d,d_{n-1},d_n$ αφού:
$d_n + d_{n-1} > \max\{d_{n-2},d_n-d_{n-1}\} = d$
$d_n + d > d_{n-1}$
$d_{n-1} + d \geqslant d_{n-1} + (d_n-d_{n-1}) = d_n$

Μπορώ λοιπόν να πάρω σημεία $p_n,p_{n-1},p_{n-2}$ ώστε $d(p_n,p_{n-1})=d_n, d(p_{n-1},p_{n-2}) = d_{n-1}$ και $d(p_n,p_{n-2})=d$ .

Ισχύει όμως ότι $d_1 \leqslant \cdots \leqslant d_{n-2} \leqslant d$ (άμεσο) και $d_1 + \cdots + d_{n-2} \geqslant d$ αφού

$\displaystyle d_1 + \cdots + d_{n-2} - d \geqslant d_1 + \cdots + d_{n-2} - (d_{n}-d_{n-1}) \geqslant 0$

Από την επαγωγική υπόθεση λοιπόν μπορώ να κλείσω το πολύγωνο.

Μένει τώρα να απαλλαχθώ από την επιπλέον προϋπόθεση ότι $d_1 \leqslant \cdots \leqslant d_n$ . Έχω όμως

διανύσματα με μήκη $d_1,\ldots,d_n$ τα οποία όταν τα τοποθετήσω διαδοχικά δημιουργούν ένα πολύγωνο. Δηλαδή έχουν άθροισμα

. Όμως με οποιαδήποτε σειρά και να τα τοποθετήσω πάλι θα δημιουργούν πολύγωνο. Οπότε ο ισχυρισμός αποδείχθηκε.

Η πρώτη λύση που έδωσα ήταν όπως παρατήρησε ο Δημήτρης σε π.μ. λανθασμένη. Ελπίζω τώρα να είμαι σωστός.

dement · #4

Πολύ ωραία λύση. Εγώ χρησιμοποίησα επίσης επαγωγή, καλύπτοντας τις περιπτώσεις n=2

,

και στη συνέχεια "ένωσα" τα d_1, d_2

σε

. Αν $d \leqslant d_n$ η επαγωγική υπόθεση χρησιμοποιείται επί τόπου. Αλλιώς παρατηρούμε ότι $d \leqslant d_{n-1}+d_n$ (ισχύει $n \geqslant 4$ ) και χρησιμοποιούμε την επαγωγική υπόθεση με το

ως μέγιστο.

Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2017-18 (3)

Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2017-18 (3)

Re: Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2017-18 (3)

Re: Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2017-18 (3)

Re: Θέμα Εισαγωγικών Scuola Normale Superiore 2017-18 (3)

Μέλη σε σύνδεση