Ερώτηση

Συντονιστής: Σεραφείμ

Απάντηση

Πρώτη μη αναγνωσμένη δημοσίευση • 21 δημοσιεύσεις

Theoxaris Malamidis: Δημοσιεύσεις: 253; Εγγραφή: Σάβ Σεπ 01, 2012 7:25 pm

Re: Ερώτηση

Παράθεση

#21

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Theoxaris Malamidis » Πέμ Φεβ 27, 2014 4:30 pm

Σ. Διονύσης έγραψε:
Theoxaris Malamidis έγραψε:
Σ. Διονύσης έγραψε:Η δυναμοσειρά που έγραψα παραπάνω λέγεται σειρά Mercator και προκύπτει από το θεώρημα Taylor. Επειδή όμως συγκλίνει μόνο στα που γράφω παραπάνω και κυρίως επειδή ο ρυθμός σύγκλισης είναι πολύ μικρός δεν είναι τόσο εύχρηστη. Καλύτερα να χρησιμοποιείς τη αντίστοιχη δυναμοσειρά του Euler που συγκλίνει για κάθε και συγκλίνει γρήγορα!

$\displaystyle{ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)=2\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^{2n+1}}{2n+1} \qquad ,\forall x}$

σου αφήνω την απόδειξη της παραπάνω ως άσκηση αν και είναι εύκολη.
Δεν ξέρω καν τι είναι δυναμοσειρές ούτε σύγκλιση και τέτοια το πρόβλημα μου είναι άλλο θα χρησιμοποιήσω το άλλο που έγραψες πιο πάνω σε ευχαριστώ ξανά.
Όπως νομίζεις. Απλά για να μην μείνουμε σε ένα απλό παράδειγμα, είπα να δώσω κάτι πιο γενικό με το οποίο υπολογίζονται όλες οι τιμές των λογαρίθμων. Ο ρυθμός σύγκλισης εκφράζει το πόσο γρήγορα μπορούμε να προσεγγίσουμε μια τιμή που θέλουμε. Δηλαδή, χοντρικά, μια σειρά έχει μεγάλο ρυθμό σύγκλισης όταν μπορούμε να πάρουμε αυτό που θέλουμε όσο πιο γρήγορα γίνεται, δηλαδή με όσο το δυνατόν λιγότερους όρους αναπτύξουμε. Στην πρώτη σειρά με 14 όρους προσεγγίζουμε το $ln2\approx 0.6587}$ . Αντίθετα με τη σειρά Euler με 2 μόλις όρους έχουμε καλύτερο αποτέλεσμα:

Για $\displaystyle{x=\frac{1}{3}}$

$\displaystyle{ln2=\frac{2}{3}+\frac{2}{81}\approx 0.691358}$