Ένα ερώτημα στις πιθανότητες

[v2gls]

Δυο παίκτες Α,Β παίζουν το εξής παιχνίδι : πρώτα ο Α διαλέγει ενα πραγματικό αριθμό απο το [0,1]. Κατόπιν, διαλέγει ένα αριθμό ο Β, ο οποίος θα είναι διαφορετικός από τον αντίστοιχο του Α. Τέλος, επιλέγεται ένας αριθμός τυχαία ομοιόμορφα απο το [0,1]. Νικητής είναι ο παίκτης που έχει επιλέξει αριθμό πιο κοντά στον αριθμό που επιλέχτηκε τυχαία στο τέλος.
Ερώτηση 1 : αν ο Α επιλέξει το 0, ποια είναι η καλύτερη επιλογή για τον Β ;
Ερώτηση 2 : ποια είναι η καλύτερη επιλογή για τον Α ;

Οι δικές μου σκέψεις είναι οι εξής : δεδομένου οτι η μέση τιμή της συνεχούς ομοιόμορφης στο [0,1] είναι ,
για την ερώτηση 1, η καλύτερη επιλογή του Β είναι ο,ποιοσδήποτε αριθμός εκτός του 1, αφού κάθε τέτοια επιλογή αναμένεται να είναι πιο κοντά στο από το 0 που επέλεξε ο Α.
για την ερώτηση 2, η καλύτερη επιλογή του Α είναι το .

Είναι σωστός ο συλλογισμός μου ;

[Λάμπρος Κατσάπας]

Δυο παίκτες Α,Β παίζουν το εξής παιχνίδι : πρώτα ο Α διαλέγει ενα πραγματικό αριθμό απο το [0,1]. Κατόπιν, διαλέγει ένα αριθμό ο Β, ο οποίος θα είναι διαφορετικός από τον αντίστοιχο του Α. Τέλος, επιλέγεται ένας αριθμός τυχαία ομοιόμορφα απο το [0,1]. Νικητής είναι ο παίκτης που έχει επιλέξει αριθμό πιο κοντά στον αριθμό που επιλέχτηκε τυχαία στο τέλος.
Ερώτηση 1 : αν ο Α επιλέξει το 0, ποια είναι η καλύτερη επιλογή για τον Β ;
Ερώτηση 2 : ποια είναι η καλύτερη επιλογή για τον Α ;

Οι δικές μου σκέψεις είναι οι εξής : δεδομένου οτι η μέση τιμή της συνεχούς ομοιόμορφης στο [0,1] είναι ,
για την ερώτηση 1, η καλύτερη επιλογή του Β είναι ο,ποιοσδήποτε αριθμός εκτός του 1, αφού κάθε τέτοια επιλογή αναμένεται να είναι πιο κοντά στο από το 0 που επέλεξε ο Α.
για την ερώτηση 2, η καλύτερη επιλογή του Α είναι το .

Είναι σωστός ο συλλογισμός μου ;

Για το 1ο. Μην μπερδεύεσε με την μέση τιμή. Δεν υπάρχει καλύτερη επιλογή για τον B. Ιδανικά ο Β θα πρέπει να παίξει ώστε να μεγιστοποιήσει την πιθανότητα να κερδίσει. Όμως η πιθανότητα αυτή δεν έχει . Mόνο το 1. Γεωμετρικά αν το δεις ο Β θα θέλει να επιλέξει αριθμό οσοδήποτε κοντά στον 0. Η πιθανότητα να κερδίσει τοτε θα είναι . Φορμαλιστικά θέλουμε απ'όπου παίρνουμε τελικά . Στο 2ο όντως η καλύτερη επιλογή του Α είναι το Εξήγησε γιατί.

[v2gls]

γιατί η μέση τιμή είναι η τιμή που ελαχιστοποιεί την ποσότητα , όπου . σωστά;

[Λάμπρος Κατσάπας]

γιατί η μέση τιμή είναι η τιμή που ελαχιστοποιεί την ποσότητα , όπου . σωστά;

Το μέσο τετραγωνικό σφάλμα δεν έχει σχέση εδώ.

Βάλε τον Α στο Η πιθανότητα να κερδίσει θα είναι τότε (όπου και αν κάτσει ο Β, αριστερά ή δεξιά)

Αν τον βάλεις σε άλλη θέση τον Α τότε ο Β μπορεί απλά να

κάτσει στο και να έχει πιθανότητα νίκης αυτή που είχε πριν ο Α δηλαδή

(μπορεί να κάτσει και σε καλύτερη θέση από αυτή αλλά δεν μας νοιάζει).

Άρα η καλύτερη επιλογή για τον A είναι το .