Συναρτησιακές σχέσεις

#1

-- Έστω συνάρτηση $f:\Bbb{R} \to \mathbb{R},$ τέτοια ώστε (x−2)f(x)−(x+1)f(x−1)=3.

Αν

τότε να υπολογισθεί η τιμή f(2013).

-- Έστω συνάρτηση

ορισμένη στο σύνολο των φυσικών αριθμών, τέτοια ώστε
f(1)+2^2f(2)+3^2f(3)+...+n^2f(n)=n^3f(n),

για όλους τους θετικούς ακέραιους αριθμούς

Αν

τότε να υπολογισθεί η τιμή f(2013).

KöMaL Math contest 2013
http://eisatopon.blogspot.gr/2013/07/59-60.html

ΛΕΩΝΙΔΑΣ · #2

Για το πρώτο..

Παρατηρούμε ότι

$f(3)=23=2^3+3\times 2^2+2\times 2 -1$

$f(4)=59=3^3+3\times 3^2 + 2\times3 -1$

$f(5)=119=4^3+3\times4^2 +2\times4 -1$

οπότε θα αποδείξουμε με επαγωγή ότι f(x+1)=x^3+3x^2+2x-1

, $x\geq 2$

Για x=2

το δείξαμε, έστω τώρα ότι ισχύει για x=k

.

Με

θέλουμε να δείξουμε f(k+2)=(k+1)^3+3(k+1)^2+3(k+1) -1

.

Από την αρχική εξίσωση θέτοντας x=k+2

και λύνοντας ως προς f(k+2)

βρίσκουμε $f(k+2)=\frac{3+(k+3)f(k+1)}{k}$
Αντικαθιστώντας το f(k+1)

και κάνοντας πράξεις καταλήγουμε στο ζητούμενο. Άρα $f(2013)=2012^2+3\times 2012^2 +2\times 2012 -1$

Mikesar · #3

Για το 2ο.
Από την αρχική σχέση έχω ότι $f(2)=\displaystyle\frac{f(1)}{4}$ .
Όμοια, χρησιμοποιώντας την παραπάνω ισότητα έχω ότι $f(3)=\displaystyle\frac{f(1)}{9}$ .
Άρα φαίνεται να ισχύει ότι γενικώς $f(n)=\displaystyle\frac{f(1)}{n^2}$ . Θα το αποδείξω με επαγωγή.
Για n=2,3

έχει δειχθεί.
Έστω ότι ισχύει για κάθε $n\leq n_0$ αρκεί να ισχύει και για n=n_0+1

, δηλαδή:
$f(n_0+1)=\displaystyle\frac{f(1)}{(n_0+1)^2}$ . Όμως από την αρχική σχέση και με χρήση της επαγωγής έχω ότι
$f(1)+....+f(1)+(n_0+1)^2f(n_0+1)=(n_0+1)^3f(n_0+1)\Leftrightarrow \\ f(n_0+1)=\displaystyle\frac{f(1)}{(n_0+1)^2}$
και η επαγωγή ολοκληρώθηκε.
Άρα $\displaystyle f(2013)=\frac{1}{2013}$

Συναρτησιακές σχέσεις

Συναρτησιακές σχέσεις

Re: Συναρτησιακές σχέσεις

Re: Συναρτησιακές σχέσεις

Μέλη σε σύνδεση