Διοφαντική, ξανά

Marios V. · #2

προφανώς

και $x\neq$ .
Μπορούμε να υποθέσουμε και ότι x>0

, αφού

άρτιος.
Ακόμα, προφανώς 3|2008!, 3|21^y

. Οπότε $3|x^2008 \Rightarrow 3|x \Rightarrow 3^{2008}|x^{2008}$ (1).

Είναι επίσης $3^{1000}\parallel 2008!$ (2) (απ' το γνωστό θεώρημα legendre)
Από (1) και (2), $3^{1000}\parallel 2008!+x^{2008}=21^y=3^y\cdot 7^y$ οπότε y=1000

.

Αλλά όμοια με το (1) είναι $7^{2008}|x^{2008}$ , οπότε $21^{2008}|x^{2008}$ , δηλαδή $x^{2008}\geq 21^{2008}$ .
Όμως $21^{1000}> x^{2008}\geq 21^{2008}$ , που δεν ισχύει.
Οπότε δεν υπάρχουν λύσεις.

Με παραξένεψε η απλότητα, οπότε υπάρχει πιθανότητα λάθους.

#3

Η άσκηση είναι από εδώ: http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 0#p1263323

Διοφαντική, ξανά

Διοφαντική, ξανά

Re: Διοφαντική, ξανά

Re: Διοφαντική, ξανά

Μέλη σε σύνδεση