Με ακέραιο μέρος

#1

Να λυθεί η

$\displaystyle{ \frac{1}{[x]}+\frac{1}{[2x]}= x-[x]+\frac{1}{3}. }$

ΛΕΩΝΙΔΑΣ · #2

Είναι γνωστό ότι η διαφορά x-[x]

είναι ίση με $\{x\}$ , δηλαδή με το κλασματικό μέρος του

.

Εύκολα αποδεικνύεται πως όταν $1> \{x\}\geq \frac{1}{2}$ τότε [2x]=2[x]+1

ενώ όταν $\frac{1}{2}> \{x\}\geq 0$ τότε [2x]=2[x]

Διακρίνουμε τις περιπτώσεις:
$\bullet [2x]=2[x]+1$ : τότε από την αρχική εξίσωση έχουμε ότι $\{x\}=\frac{1}{[x]} +\frac{1}{2[x]+1} - \frac{1}{3}$ . Λόγω αυτού που υποθέσαμε πρέπει $1>\frac{1}{[x]} +\frac{1}{2[x]+1} - \frac{1}{3} \geq \frac{1}{2}$ . Για [x]=1

το αριστερό μέλος της εξίσωσης δεν ισχύει ενώ για $[x]\geq 2$ αποδεικνύουμε με επαγωγή ότι $\frac{1}{[x]} +\frac{1}{2[x]+1} - \frac{1}{3} \leq \frac{1}{2}$ . Άρα για $1> \{x\} \geq \frac{1}{2}$ η εξίσωση δεν έχει λύση.

$\bullet [2x]=2[x]$ : τότε θα πρέπει $\frac{1}{2}>\frac{1}{[x]} +\frac{1}{2[x]} - \frac{1}{3}\geq 0$ . Για [x]=1

η αριστερή ανίσωση δεν ισχύει ενώ για [x]=2, [x]=3, [x]=4

η διπλή ανίσωση ισχύει. Για $[x]\geq 5$ με επαγωγή αποδεικνύουμε ότι $\frac{1}{[x]} +\frac{1}{2[x]} - \frac{1}{3}<0$ .

Άρα τελικά δεκτές είναι μόνο οι [x]=2, [x]=3, [x]=4

για τις οποίες βρίσκουμε στην αρχική εξίσωση αντίστοιχα $x=\frac{29}{12}, x=\frac{19}{6}, x=\frac{97}{24}$

#3

Αν

τότε $\displaystyle{\frac{1}{\left[x \right]}+\frac{1}{\left[2x \right]}<0<x-\left[x \right]+\frac{1}{3}}$

Αν $x\geq 5$ τότε $\displaystyle{\frac{1}{\left[x \right]}+\frac{1}{\left[2x \right]}\leq \frac{3}{10}<\frac{1}{3}\leq x-\left[x \right]+\frac{1}{3}}$

Αν $0\leq x<1$ η εξίσωση δεν ορίζεται.

Άρα $1\leq x<5$ .

Αν $\left[x \right]=1$ τότε $\left[2x \right]=2$ ή

. Τότε $\displaystyle{x=\frac{13}{6}}$ ή x=2

που απορρίπτονται.

Αν $\left[x \right]=2$ τότε $\left[2x \right]=4$ ή

. Τότε $\displaystyle{x=\frac{29}{12}}$ (δεκτή) ή $\displaystyle{x=\frac{71}{30}}$ (απορρίπτεται)

Αν $\left[x \right]=3$ τότε $\left[2x \right]=6$ ή

. Τότε $\displaystyle{x=\frac{19}{6}}$ (δεκτή) ή $\displaystyle{x=3+\frac{1}{7}}$ που απορρίπτεται.

Αν $\left[x \right]=4$ τότε $\left[2x \right]=8$ ή

. Τότε $\displaystyle{x=\frac{97}{24}}$ (δεκτή) ή $\displaystyle{x=4+\frac{1}{36}}$ που απορρίπτεται.

Με ακέραιο μέρος

Με ακέραιο μέρος

Re: Με ακέραιο μέρος

Re: Με ακέραιο μέρος

Μέλη σε σύνδεση