Πολλά ριζικά!

#1

Κάποτε στην Αυστρία ζητήθηκε να αποδειχθεί ότι

$\displaystyle{\rm \sqrt{2\sqrt[3]{3\sqrt[4]{4\cdots \sqrt[n]{n}}}}<2.}$

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#2

Το αριστερό μέλος ισούται με $\displaystyle{ 2^{1/2}3^{1/6} \cdots n^{1/n!}}$ το οποίο από την ΑΜ-ΓΜ είναι μικρότερο ή ίσο του

$\displaystyle{ \left( \frac{\sum_{k=2}^n (k/k!)}{\sum_{k=2}^n (1/k!)}\right)^{\sum_{k=2}^n (1/k!)} = \left(1 + \frac{1}{a_n} \right)^{a_n}}$

όπου $\displaystyle{ a_n = \sum_{k=2}^n \frac{1}{k!}.}$ Επειδή $a_n \nearrow e-2 < 1$ από την ανισότητα Bernoulli είναι $\displaystyle{ \left(1 + \frac{1}{a_n} \right)^{a_n} \leqslant 2.}$

Επίσης επειδή η συνάρτηση (1+1/x)^x

είναι αύξουσα (π.χ. με χρήση παραγώγων) τότε ένα καλύτερο φράγμα (ανεξάρτητο του

) είναι το $\displaystyle{\left(1 + \frac{1}{e-2} \right)^{e-2} \approx 1.871}$

kostas_zervos · #3

matha έγραψε:Κάποτε στην Αυστρία ζητήθηκε να αποδειχθεί ότι

$\displaystyle{\rm \sqrt{2\sqrt[3]{3\sqrt[4]{4\cdots \sqrt[n]{n}}}}<2.}$

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Δεχόμεθα και καλύτερα άνω φράγματα.

Για $n\in\Bbb{N}-\{0,1,2,3\}$ και a>1

είναι:

$\sqrt[n]{na}<\sqrt{2a}\iff n^2a^2<2^na^n \iff 2^na^{n-2}>n^2$ που ισχύει γιατί:

Μπορούμε να δείξουμε εύκολα με επαγωγή ότι $2^n\geq n^2\;,\;n\geq 4$ και $a>1\overset{n-2>0}{\iff}a^{n-2}>1$ .

Επίσης για n=3

έχουμε $\sqrt[3]{3a}<\sqrt{2a} \iff \cdots\iff a>\dfrac{9}{8}$ .

Είναι $\sqrt[4]{4\cdots \sqrt[n]{n}}>\sqrt[4]{4}=\sqrt{2}$ και $\sqrt{2}>\dfrac{9}{8}\iff 128>81$ (ισχύει).

Άρα $\sqrt{2\sqrt[3]{3\sqrt[4]{4\sqrt[6]{5\cdots \sqrt[n]{n}}}}}<\sqrt{2\sqrt{2\sqrt[4]{4\sqrt[5]{5\cdots \sqrt{2}}}}}$

Επειδή $\sqrt[5]{5\sqrt[6]{6\cdots \sqrt[n]{n}}}>1$ έχουμε

$\sqrt{2\sqrt[3]{3\sqrt[4]{4\sqrt[5]{5\cdots \sqrt[n]{n}}}}}<\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\sqrt[5]{5\cdots \sqrt[n]{n}}}}}$

και συνεχίζοντας όμοια τελικά:

$\sqrt{2\sqrt[3]{3\sqrt[4]{4\cdots \sqrt[n]{n}}}}<\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\cdots \sqrt{2}}}}<\sqrt{2\sqrt{2\sqrt{2\cdots \sqrt{4}}}}=\cdots=2$

Marios V. · #4

με τον κλασσικό τρόπο, είναι $lnx\leq\frac{ln2}{2}x$ για κάθε $x\geq4$ , οπότε $e^{\frac{lnx}{x!}} \leq e^{\frac{ln2}{2[(x-1)!]}$
και τελικά $x^{\frac{1}{x!}}\leq(\sqrt{2})^{\frac{1}{(x-1)!}}$ για κάθε $x\geq4$ .

Οπότε $LHS=2^{\frac{1}{2!}}\cdot ...\cdot n^{\frac{1}{n!}}<2^{\frac{1}{2!}}\cdot ...\leq 2^{\frac{1}{2!}}\cdot 3^{\frac{1}{3!}}\cdot (\sqrt{2})^{\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+...}=3^{\frac{1}{6}}\cdot (\sqrt{2})^{e-1.5}$

Τελικά: LHS<1.8318...<2

Αυτό προκύπτει π.χ. επειδή 3^5=243<512=2^9

οπότε $3^{\frac{1}{6}}<2^{\frac{3}{10}}$ και $(\sqrt{2})^{e-1.5}=2^{\frac{e-1.5}{2}}<2^{\frac{2.9-1.5}{2}}=2^{\frac{7}{10}}$ οπότε $3^{\frac{1}{6}}\cdot (\sqrt{2})^{e-1.5}<2$ .

Όμοια, αφήνοντας παραπάνω όρους του γινομένου άθικτους καταλήγουμε σε πιο μικρά φράγματα, δηλ. 1.8300, 1.8292,1.82906,1.82903,...

(το γινόμενο είναι περίπου 1.82902

).

Πολλά ριζικά!

Πολλά ριζικά!

Re: Πολλά ριζικά!

Re: Πολλά ριζικά!

Re: Πολλά ριζικά!

Μέλη σε σύνδεση