Κατασκευή δεύτερη

#1

Δίνεται κύκλος $\displaystyle{C(O,5)}$ και ευθεία $\displaystyle{(e)}$ η οποία απέχει από το κέντρο $\displaystyle{O}$ απόσταση $\displaystyle{(OM)=3}$ .
Θεωρούμε ένα σταθερό σημείο τέτοιο ώστε να βρίσκεται στην παράλληλο προς την ευθεία $\displaystyle{(e)}$ και το
οποίο απέχει από το σημείο $\displaystyle{O}$ απόσταση $\displaystyle{(OA)=6}$ , όπως φαίνεται στο ακόλουθο σχήμα:

: Κατασκευή δεύτερη.png (17.94 KiB) Προβλήθηκε 1487 φορές

Να κατασκευαστεί ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle{ABC, \ \ \widehat{A}=90^o}$ , τέτοιο ώστε οι κορυφές $\displaystyle{B,C}$ να ανήκουν αντίστοιχα στον κύκλο $\displaystyle{C}$ και
στην ευθεία $\displaystyle{(e)}$ κι ακόμα να είναι:

$\displaystyle{(AB)(AC)=9}$

Πόσες λύσεις υπάρχουν;

#2

KDORTSI έγραψε: ↑
Παρ Οκτ 16, 2020 10:00 am
Δίνεται κύκλος $\displaystyle{C(O,5)}$ και ευθεία $\displaystyle{(e)}$ η οποία απέχει από το κέντρο $\displaystyle{O}$ απόσταση $\displaystyle{(OM)=3}$ .
Θεωρούμε ένα σταθερό σημείο τέτοιο ώστε να βρίσκεται στην παράλληλο προς την ευθεία $\displaystyle{(e)}$ και το
οποίο απέχει από το σημείο $\displaystyle{O}$ απόσταση $\displaystyle{(OA)=6}$ , όπως φαίνεται στο ακόλουθο σχήμα:

Κατασκευή δεύτερη.png

Να κατασκευαστεί ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle{ABC, \ \ \widehat{A}=90^o}$ , τέτοιο ώστε οι κορυφές $\displaystyle{B,C}$ να ανήκουν αντίστοιχα στον κύκλο $\displaystyle{C}$ και
στην ευθεία $\displaystyle{(e)}$ κι ακόμα να είναι:

$\displaystyle{(AB)(AC)=9}$

Πόσες λύσεις υπάρχουν;

: Κατασκευή δεύτερη.png (36.23 KiB) Προβλήθηκε 1475 φορές

Αντιστρέφω τον δεδομένο κύκλο με πόλο το σταθερό σημείο

και δύναμη αντιστροφής ${k^2} = {3^2} = 9$

Προκύπτει άλλος κύκλος ${C_1}$ (κόκκινος) που τον στρέφω γύρω από το

με ορθή

φορά κατά ορθή γωνία και προκύπτει νέος ίσος κύκλος ${C_2}$ (πράσινος ) που τέμνει

τον αρχικό σε δύο σημεία $C\,\,\kappa \alpha \iota \,\,C'$ που είναι και τα ζητούμενα .

Η κάθετη στο

επί την

τέμνει τον αρχικό κύκλο στο

.

Προφανώς έχω δύο λύσεις .

: Κατασκευή δεύτερη_b.png (51.7 KiB) Προβλήθηκε 1469 φορές

Παρατήρηση :

Στην ανάλυση , πάνω στην προς το θεωρώ σημείο τέτοιο ώστε :

$\boxed{AT = AC \Rightarrow AB \cdot AT = 9}$ που με ώθησε να κάνω την αντιστροφή του κύκλου.

Επειδή δε στο είναι δεδομένη η γωνία ( $90^\circ$ )

πρέπει τον κύκλο που προέκυψε να του κάνω στροφή κατά $90^\circ$ .

Θα μπορούσε να δοθεί αντί για ορθή μια άλλη γωνία και αντί $AB \cdot AC = 9$ ένα άλλο γινόμενο .

S.E.Louridas · #3

Όμορφο θέμα, αν και δύσκολο, με σημαντική σκέψη που λύνεται και με στοιχειώδη εργαλεία.
Θα ήθελα να μου επιτραπεί να από-αγιοποιήσω για λίγο την μέθοδο της αντιστροφής, χωρίς βέβαια και προφανώς να υπάρχει η παραμικρή υπόνοια για προσπάθεια υποβάθμισης της Άριστης αυτής μεθόδου. Απλά προϋπάρχουν και πιο στοιχειώδεις μέθοδοι επίλυσης.
1. Για την «Κατασκευή πρώτη» δεν είναι υποχρεωτικό στο βάθος του μυαλού να υπάρχει η γνώση της αντιστροφής. Αρκεί να σκεφτεί κάποιος το προηγούμενο, τουλάχιστον χρονικά κατά την εξέλιξη των Μαθηματικών, σκεπτικό ότι το γινόμενο δύο ευθυγράμμων τμημάτων μπορεί να προκύψει από ομοιότητα τριγώνων για πλευρές που δεν βρίσκονται αντίστοιχα απέναντι από ίσες γωνίες, αρκεί από την αναλογία να κάνουμε το «χιαστί», όπως λαϊκά λέμε. Με βάση λοιπόν το σκεπτικό αυτό επέλυσα το θέμα κάτω από τον τίτλο «Κατασκευή πρώτη», αφού δημιούργησα τρίγωνο AFE’

, όμοιο στο τρίγωνο AEB

και συνέχισα κανονικά (https://mathematica.gr/forum/viewtopic. ... 94#p330694).
2. Για την κατασκευή κάτω από τον τίτλο (που όπως και η πρώτη γενικεύονται ως προς τα δεδομένα και πέραν των αριθμητικών που σωστά έβαλε ο Κώστας, ώστε να συγκεντρωθούν περισσότερο οι λύτες) «Κατασκευή δεύτερη» και μετά από την Άριστη λύση του Νίκου και μόνο για λόγους πλουραλισμού και διδακτικής προσέγγισης προτείνω και την διαπραγμάτευση που ακολουθεί.

ΑΝΑΛΥΣΗ (και με βάση το σχήμα της ανάλυσης που προφανώς δεν έχει την ακρίβεια του σχήματος της κατασκευής αφού η ανάλυση, που είναι η καθοριστική και πλέον σπουδαία προ απαιτούμενη διαδικασία, προσανατολίζει προς την απόλυτα ακριβή κατασκευή, για τούτο στην ανάλυση ξεκινάμε με την φράση: Έστω ότι υπάρχει .........):

Έστω λοιπόν

η τομή της ημιευθείας

με τον δεδομένο κύκλο

. Τότε παίρνουμε $\displaystyle{AB \cdot AD = {6^2} - {5^2} = 11.}$ Άρα προκύπτει $\displaystyle{AB = \frac{{11}}{{AD}} \Rightarrow \frac{{AC}}{{AD}} = \frac{9}{{11}}.}$ Αυτό οδηγεί στο συμπέρασμα ότι το ορθογώνιο τρίγωνο ADC

παραμένει όμοιο προς εαυτόν, οπότε διατηρεί τις γωνίες του. Εδώ ακριβώς θεωρούμε ορθογώνιο τρίγωνο AOE

«ομορρόπως» όμοιο στο τρίγωνο ADC,

οπότε $\displaystyle{\frac{{AE}}{{AO}} = \frac{{AC}}{{AD}} = \frac{9}{{11}} \Rightarrow AE = \frac{{54}}{{11}}.}$
Από την ομοιότητα αυτή προκύπτει άμεσα η «ομορρόπως» ομοιότητα των τριγώνων AEC, AOD

με πλευρά

ομόλογη της πλευράς

,
και πλευρά

ομόλογη της πλευράς

και έτσι έχουμε: $\displaystyle{\frac{{AC}}{{AD}} = \frac{{EC}}{{OD}} = \frac{{EC}}{5} \Rightarrow EC = \frac{{45}}{{11}},\,\;ct.}$
Συνεπώς το σημείο

προσδιορίζεται ως τομή του κύκλου $\displaystyle{\left( {E,\,\frac{{45}}{{11}}} \right)}$ και της ευθείας (e)

. Άμεσα πλέον έχουμε την ζητούμενη κατασκευή.

: 2η κατ..png (21.3 KiB) Προβλήθηκε 1425 φορές

edit: Απλά διόρθωσα σε $\frac{45}{11}$ το $\frac{54}{11},$ που εκ παραδρομής είχε γραφεί.

Κατασκευή δεύτερη

Κατασκευή δεύτερη

Re: Κατασκευή δεύτερη

Re: Κατασκευή δεύτερη

Μέλη σε σύνδεση