Στην μοναδιαία σφαίρα

#1

$\displaystyle{\Bbb{S}^2=\{(x,y,z) \in \Bbb{R}^3/x^2+y^2+z^2=1\}}$ .

Αν $\displaystyle{f:\Bbb{S}^2 \to \Bbb{S}^2}$ , συνεχής με $\displaystyle{f(x) \neq f(-x)}$ , για κάθε $\displaystyle{x \in \Bbb{S}^2}$ , να αποδειχθεί ότι η $\displaystyle{f}$ είναι επί.

#2

Θα χρησιμοποιήσουμε το Θεώρημα Borsuk-Ulam, σύμφωνα με το οποίο αν $h : \Bbb{S}^n \to \mathbb{R}^n$ είναι συνεχής συνάρτηση, τότε υπάρχει $x \in \Bbb{S}^n$ τέτοιο, ώστε h(x)=h(-x)

.

Υποθέτουμε ότι $f : \Bbb{S}^n \to \Bbb{S}^n$ είναι μια συνεχής συνάρτηση με $f(-x) \ne f(x)$ για κάθε $x \in \Bbb{S}^n$ και ότι υπάρχει σημείο $p \in \Bbb{S}^n \setminus f(\Bbb{S}^n)$ . Θεωρούμε τη στερεογραφική προβολή $g : \Bbb{S}^n \setminus \{p\} \to \mathbb{R}^n$ , η οποία είναι συνεχής, 1-1 και επί. Τότε, η $h= g\circ f: \Bbb{S}^n \to \mathbb{R}^n$ είναι καλά ορισμένη και συνεχής. Από το Θεώρημα Borsuk-Ulam, θα υπάρχει $x \in \Bbb{S}^n$ τέτοιο, ώστε
$h\left( x \right) = h\left( { - x} \right) \Leftrightarrow g\left( {f\left( x \right)} \right) = g\left( {f\left( { - x} \right)} \right) \Leftrightarrow f\left( { - x} \right) = f\left( x \right).$ Αυτό, όμως, είναι άτοπο, οπότε το συμπέρασμα έπεται.

Στην μοναδιαία σφαίρα

Στην μοναδιαία σφαίρα

Re: Στην μοναδιαία σφαίρα

Μέλη σε σύνδεση