Μια ανισότητα!

#1

Αν $\displaystyle{a,b,c>0,}$ τότε

$\displaystyle{\frac{a^3}{b^4}+\frac{b^3}{c^4}+\frac{c^3}{a^4}\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}.}$

Από εδώ.
Ας βρούμε άλλες στοιχειώδεις αποδείξεις.

#2

$\displaystyle{\frac{a^3}{b^4}+\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{a}\geq 4\sqrt[4]{\frac{a^3}{b^4}\left(\frac{1}{a} \right)^3}=\frac{4}{b}}$

δηλαδή

$\displaystyle{\frac{a^3}{b^4}\geq \frac{4}{b}-\frac{3}{a}}$

Ομοίως

$\displaystyle{\frac{b^3}{c^4}\geq \frac{4}{c}-\frac{3}{b}}$

$\displaystyle{\frac{c^3}{a^4}\geq \frac{4}{a}-\frac{3}{c}}$

Προσθέτουμε και έχουμε το ζητούμενο.

ΛΕΩΝΙΔΑΣ · #3

Χωρίς βλάβη της γενικότητας θέτω $c=\min \left\{a,b,c \right\}$ οπότε έχω τις 2 περιπτώσεις $a\geq b \geq c$ , $b\geq a\geq c$ . Η πρώτη προκύπτει από την ανισότητα της αναδιάταξης για τις διαφορετικής μονοτονίας $3\alpha \delta \varepsilon \varsigma$ a^3,b^3,c^3

και $\frac{1}{a^4}, \frac{1}{b^4}, \frac{1}{c^4}$ . Όμοια και για την δεύτερη.

Έγινε διόρθωση της λύσης. Είναι σωστή τώρα;

#4

ΛΕΩΝΙΔΑΣ έγραψε:Χωρίς βλάβη της γενικότητας θέτω $a\geq b\geq c$ οπότε η ζητούμενη προκύπτει από την ανισότητα της αναδιάταξης για τις διαφορετικής μονοτονίας $3\alpha \delta \varepsilon \varsigma$ και $\frac{1}{a^4}, \frac{1}{b^4}, \frac{1}{c^4}$ .

Προσοχή! Η προς απόδειξη ανισότητα είναι κυκλική, αλλά όχι συμμετρική. Επομένως, η απόδειξη αυτή δεν είναι πλήρης.

Grigoris K. · #5

Μία ακόμη προσέγγιση με Cauchy-Schwarz όχι ιδιαίτερα κομψἠ σαν του κ. Παύλου:

$\displaystyle{ \left ( \sum \frac{1}{a}\right )^3 \left ( \sum \frac{a^3}{b^4} \right ) \geq \left(\sum \frac{1}{a} \right )^2 \left (\sum \frac{a}{b^2} \right )^2 \geq \left ( \sum \frac{1}{a} \right )^4 \implies \sum \frac{a^3}{b^4} \geq \sum \frac{1}{a} }$

#6

matha έγραψε:Αν $\displaystyle{a,b,c>0,}$ τότε

$\displaystyle{\frac{a^3}{b^4}+\frac{b^3}{c^4}+\frac{c^3}{a^4}\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}.}$

Από εδώ.
Ας βρούμε άλλες στοιχειώδεις αποδείξεις.

Επειδή η

είναι κυρτή, βρίσκεται πάνω από την εφαπτομένη της στο $(1, \, 1)$ . Άρα ισχύει $\displaystyle{x^4-1\ge 4(x-1)}$ , ισοδύναμα $\displaystyle{x^4\ge 4x-3}$

(άλλος τρόπος να το διαπιστώσουμε αυτό είναι από την Από την $\displaystyle{x^4-(4x-3)=(x-1)^2(x^2+2x+3) \ge 0 }$ ) . Έπεται $\displaystyle{ \frac {a^4}{b^4} \ge 4 \frac {a}{b} -3 }$ , οπότε $\displaystyle{ \frac {a^3}{b^4} \ge \frac {4}{b} - \frac {3}{a} \, \, (*)}$ και κυκλικά.

Προσθέτοντας κατά μέλη, έπεται το ζητούμενο.

Φιλικά,

Μιχάλης

(*)

Αυτή είναι η ανισότητα του Παύλου, παραπάνω. Δηλαδή είδαμε τρεις τρόπους απόδειξής της.

Μια ανισότητα!

Μια ανισότητα!

Re: Μια ανισότητα!

Re: Μια ανισότητα!

Re: Μια ανισότητα!

Re: Μια ανισότητα!

Re: Μια ανισότητα!

Μέλη σε σύνδεση