Ο άγνωστος πόλεμος

KARKAR · #1

Βρείτε τους θετικούς ακέραιους a , b

, για τους οποίους ισχύει : (a-1)(31-a)=b^2

#2

KARKAR έγραψε:Βρείτε τους θετικούς ακέραιους , για τους οποίους ισχύει :

Δεν χρειάζεται να σκεφτούμε πολύ: Επειδή το δεξί μέλος είναι θετικό, θα ισχύει $1\le a \le 31$ . Κάνουμε τώρα σάρωση όλων των περιπτώσεων. Δεν είναι τόσο πολλές όσες φαίνονται αρχικά γιατί έχουμε συμμετρία (π.χ. με τη λύση $(7-1)(31-7)=6\cdot 24 = 12^2$ έχουμε και την $12^2= 24\cdot 6 = (25-1)(31-25)$ , οπότε αρκεί μόνο $a= 1, 2, ...\, 15$ .

Θα βρούμε τις λύσεις (a, b) = (4, 9), (7, 12), (16, 15), (25, 12), (28, 9)

Φιλικά,

Μιχάλης

Babiskar · #3

H σχέση αυτή (a-1)(31-a)=b^2

μπορεί να προκύψει από τον πολ\σμο κατά μελή των παρακάτω σχέσεων έπεται a-1=b

και

. Λύνοντας ως a-1=31-a

προκύπτει ότι a=16

και αντικαθιστώντας το σε μια από της δυο σχέσεις a-1=b

ή

, είναι

Edit από Γενικούς Συντονιστές: Διόρθωση του κώδικα LATEX, για να είναι το κείμενο συμβατό με τους κανονισμούς του φόρουμ.

ΛΕΩΝΙΔΑΣ · #4

Babiskar έγραψε:H σχέση αυτή (α-1)(31-α)=b*b(δεν ήξερα πως να συμβολίσω το τετραγώνου) μπορεί να προκύψει από τον πολ\σμο κατά μελή των παρακάτω σχέσεων > (α-1)=b και (31-α)=b. Λύνοντας ως α-1=31-α προκύπτει ότι α=16 και αντικαθιστώντας το σε μια απο της δυο σχέσεις α-1=b η 31-α=b b=15

Ναι μόνο που μπορεί να προκύψει και από πολ/σμό άλλων σχέσεων. Νομίζω η προσέγγιση του κ. Λάμπρου είναι η ορθότερη

Babiskar · #5

Και εγω αυτο νομιζω.

#6

Έχουμε την εξίσωση:
${a^2} - 32a + {b^2} + 31 = 0$ (1)
Η (1) έχει διακρίνουσα $D = {32^2} - 4(31 + {b^2})$ κι επειδή πρέπει $D \ge 0 \Rightarrow b \le 15$ .
Επίσης πρέπει $(a - 1)(31 - a) > 0 \Rightarrow 1 < a < 31$ .
1) Αν b =

πρώτος
από το σύστημα: a - 1 = b,31 - a = b

έχουμε :

και άρα

2) Αν

σύνθετος δηλαδή b = 14,12,10,9,8,6,4

Μόνο οι περιπτώσεις $b = 12 \Rightarrow a = 25,a = 7$ ή
$b = 9 \Rightarrow a = 28,a = 4$ είναι δεκτές

Φιλικά Νίκος

KARKAR · #7

Λίγο διαφορετικά : Κάνοντας πράξεις παίρνω :

$-a^2+32a-31=b^2\Leftrightarrow a^2-32a=-31-b^2\Leftrightarrow a^2-32a+256=225-b^2$

Η τελευταία γράφεται : (a-16)^2=225-b^2

και εύκολα διαπιστώνουμε ότι οι τιμές του

που καθιστούν το β' μέλος τετράγωνο ακεραίου είναι οι 15,12,9

που δίνουν για το

τις τιμές

αντίστοιχα .

Ο άγνωστος πόλεμος

Ο άγνωστος πόλεμος

Re: Ο άγνωστος πόλεμος

Re: Ο άγνωστος πόλεμος

Re: Ο άγνωστος πόλεμος

Re: Ο άγνωστος πόλεμος

Re: Ο άγνωστος πόλεμος

Re: Ο άγνωστος πόλεμος

Μέλη σε σύνδεση