Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

S.E.Louridas · #201

Ας μου επιτραπεί μία υπόδειξη για την ΑΣΚΗΣΗ 91 να ασχοληθούν οι μικροί μας συνάδελφοι.
Η εξίσωση ισοδύναμα γίνεται:
$54\frac{{2x}} {a} = \left[ {2\frac{{\left( {x - a} \right)}} {a}} \right]^3 ,$
οπότε (γιά να απαλαγούμε από τον a που μας ενοχλεί) θεωρούμε την αντικατάσταση που ακολουθεί:
$y = \frac{{2\left( {x - a} \right)}} {a},...$

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

S.E.Louridas

Karanus · #202

ΑΚΗΣΗ 93
Έστω a,b,c

και οι τρεις αριθμοί διάφοροι του μηδενός. Αν οι αριθμοί ab,bc

και

είναι ρητοί, τότε και ο αριθμός
$k=a^{2}+b^{2}+c^{2}$ είναι ρητός.

#203

Φερμά_96 έγραψε:από AM-HM
$\frac{a+b+c}{3}\geq \frac{3}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}$
$(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq 9$

έχει κάποιος την όρεξη και την καλοσύνη να μαζέψει όλες τις άλυτες, επειδή δεν παρακολουθούσα την εξέλιξη του θέματος και τις ασκήσεις που προτείνονταν για αρκετές μέρες;

να προσθέσω στην ανισότητα $AM\geq GM\geq HM$
και τo ${\color{blue}RMS}=\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3}}$
για τo οποίo ισχύει ${\color{blue}RMS\geq} AM\geq GM\geq HM$

Άλυτες έχουν απομείνει ακόμα οι ασκήσεις: 50,86,87,89,91 (και ίσως κάποια που μου διέφυγε της προσοχής)

Marios V. · #204

Karanus έγραψε:ΑΚΗΣΗ 93
Έστω και οι τρεις αριθμοί διάφοροι του μηδενός. Αν οι αριθμοί και είναι ρητοί, τότε και ο αριθμός
$k=a ^{2}+b ^{2}+c^{2}$ είναι ρητός.

το γινόμενο το πηλίκο, το άθροισμα, και η διαφορά ρητών, είναι ρητός.
$\frac{ab}{bc}=\frac{a}{c}\in Q,\ \ \frac{a}{c}\cdot ac = a^{2} \in Q$
ομοίως, $b^{2},c^{2}\in Q$
$k=a^{2}+b^{2}+c^{2}\in Q$

Grigoris K. · #205

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:

Άλυτες έχουν απομείνει ακόμα οι ασκήσεις: 50,86,87,89,91 (και ίσως κάποια που μου διέφυγε της προσοχής)

Επιπλέον άλυτη παραμένει η πανέμορφη 83 του κ. Socrates και η 85 του Παναγιώτη.

Grigoris K. έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 86

Βρείτε όλα τα ζεύγη πραγματικών αριθμών τα οποία ικανοποιούν την εξής σχέση:

$\displaystyle \frac{x-2}{y} + \frac{5}{xy} = \frac{4-y}{x} - \frac{|y-2x|}{xy}$

ΑΣΚΗΣΗ 87

Σε μια σκακιέρα $6 \times 6$ έχουν τοποθετηθεί φυσικοί αριθμοί. Κάθε κίνηση συνίσταται στην επιλογή ενός τετραγώνου μεγαλύτερου από $1 \times 1$ ( το οποίο αποτελείται από "κουτάκια" της σκακιέρας ) και στην αύξηση όλων των φυσικών αριθμών που βρίσκονται στο επιλεγμένο τετράγωνο κατά 1. Είναι πάντα ευφικτό να κάνουμε κάποιες κινήσεις ώστε να οδηγηθούμε σε μια κατάσταση όπου όλοι οι φυσικοί αριθμοί είναι διαρετοί από το 3;

(η 87 είναι λίγο "τσιμπημένη")

Για την ΑΣΚΗΣΗ 86 να ληφθεί υπόψιν (αφού γίνουν οι πράξεις) ότι $\displaystyle{| y - 2x | \geq 0}$ καθώς και ότι

$\displaystyle{x_1^2 + x_2^2+... + x_n^2 + |y_1| + |y_2| + .... +|y_n| = 0 \Leftrightarrow x_1 = x_2= ... = x_n = y_1 = y_2 = ... = y_n = 0}$

Για την ΑΣΚΗΣΗ 87 βρείτε αντιπαράδειγμα (δηλαδή ένα παράδειγμα που θα αποδεικνύει το αντίστροφο) για να αντικρούσετε τον ισχυρισμό είτε δείξτε ότι είναι ευφικτό να οδηγηθούμε στην ζητούμενη κατάσταση κάνοντας $\nu$ αριθμό κινήσεων.

spiros filippas · #206

Karanus έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 92:
Αν $\alpha ,\beta ,\gamma \succ 0$ , να αποδειχθεί ότι : $\left(\alpha +\beta +\gamma \right)\left(\frac{1}{\alpha }+\frac{1}{\beta } +\frac{1}{\gamma }\right)\geq 9$

Η άσκηση 92 μπορεί να γενικευτεί ως εξής:

$(x_1+x_2+...+x_n)(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+...+\frac{1}{x_n})\geq n^2$

καί αποδυκνείεται άμεσα απο Cauchy-Schwartz αφού : $\displaystyle{(x_1+x_2+...+x_n)(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+...+\frac{1}{x_n})\geq (\sum_{j=1}^{n}{\sqrt{x_j}\frac{1}{\sqrt{x_j}}})^2=n^2}$

#207

spiros filippas έγραψε:Η άσκηση 92 μπορεί να γενικευτεί ως εξής:

$(x_1+x_2+...+x_n)(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+...+\frac{1}{x_n})\geq n^2$

καί αποδυκνείεται άμεσα απο Cauchy-Schwartz αφού

$(x_1+x_2+...+x_n)(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+...+\frac{1}{x_n})\geq (\sum_{j=1}^{n}{\sqrt{x_j}\frac{1}{\sqrt{x_j}}})^2=n^2$

Ας μην ανησυχίσουν οι μικροί μας μαθητές με την ανισότητα Cauchy-Schwartz, που ακόμα δεν την γνωρίζουν. Θα έρθει στιγμή που θα την μάθουμε και θα δούμε και άλλα παραδείγματα.

S.E.Louridas · #208

Ανισότητα των Buniakowski-Cauchy-Schwarz (B-C-S)

Έστω τα σύνολα των πραγματικών αριθμών $\left\{ {x_1 ,x_2 ,...,x_n } \right\},\;\left\{ {y_1 ,y_2 ,...,y_n } \right\},$ τότε ισχύει ότι :

$\boxed{\left( {x_1^2 +x_2^2 +...+x_n^2 } \right)\left( {y_1^2 +y_2^2 +...+y_n^2 } \right) \geqslant \left( {x_1 y_1 + x_2 y_2 + ... + x_n y_n } \right)^2} ,$

με την ισότητα να ισχύει όταν,
$\exists \ell \in \mathbb{R},\;x_1 = \ell\cdot y_1 \;\kappa \alpha \iota \;x_2 = \ell\cdot y_2 \;\kappa \alpha \iota ...\kappa \alpha \iota \;x_n = \ell\cdot y_n .$

S.E.Louridas

Marios V. · #209

άλυτη είνα και η 73 που είχα προτείνει εγώ, νομίζω.

Στην 86:

Grigoris K. έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 86
Βρείτε όλα τα ζεύγη πραγματικών αριθμών τα οποία ικανοποιούν την εξής σχέση:

$\displaystyle \frac{x-2}{y} + \frac{5}{xy} = \frac{4-y}{x} - \frac{|y-2x|}{xy}$

$\displaystyle \frac{x-2}{y} + \frac{5}{xy} = \frac{4-y}{x} - \frac{|y-2x|}{xy}$
x(x-2)+5=y(4-y)-|y-2x|

$(x-1)^{2}+(y-2)^{2}+|y-2x|=0$
πρέπει x-1=y-2=y-2x=0

,
οπότε

στην 89:

Karanus έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 89:
Να εξετάσετε αν υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί α,β διάφοροι του μηδενός , τέτοιοι ώστε: $\frac{3}{2}\alpha \beta ^{-1}+\frac{10}{3}\alpha ^{-1}\beta =3$

$\frac{3a}{2b}+\frac{10b}{3a}=3$
$9a^{2}+20b-18ab=0$
$9(a^{2}-2ab+b^{2})+11b^{2}=0$
$9(a-b)^{2}+11b^{2}=0$
πρέπει a=b=0

, οπότε το ζητούμενο δεν ισχύει.

Karanus · #210

ΑΣΚΗΣΗ 94
Δίνονται οι αριθμοί $\alpha =\nu \left(\nu -1 \right)$ και $\beta =\left(\nu +1^ \right)^{2}$
οπου ν θετικός ακέραιος.Να αποδειχθεί ότι οι αριθμοί α και β έχουν διαφορετικό άθροισμα ψηφίων.
ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 1997
Παράκληση προς τους δυνατούς λύτες (ξέρουν αυτοί ποιοί είναι) να δίνουν κατά την κρίση τους,λίγο χρόνο στα
πιο μικρά σε ηλικία, αλλά και σε εμπειρία μέλη να ασχοληθούν και αυτά.

S.E.Louridas · #211

ΑΣΚΗΣΗ 95:

$\left( {a,b,c,d > 0} \right)\;\kappa \alpha \iota \;\left( {a + b + c + d = 1} \right) \Rightarrow \frac{1} {{a + b}} + \frac{1} {{b + c}} + \frac{1} {{c + d}} + \frac{1} {{d + a}} \geqslant 8.$

ΚΑΙ
Μεθοδολογικές αναφορές:

α) Όταν μάς δώσουν ότι ένας αριθμός, έστω ο x είναι ΑΡΝΗΤΙΚΟΣ ή μηδέν τότε μπορούμε να εμφανίσουμε με θετικό μέρος δηλαδή να λάβουμε υπ’ όψη ότι:
$x \in \mathbb{R}_ - \Leftrightarrow \left( {x \in \mathbb{R}} \right)\;\kappa \alpha \iota \;\left( {x = - \left| x \right|} \right).$

β) Όταν μας πουν ότι ένας αριθμός, έστω x είναι ΘΕΤΙΚΟΣ μας δίνουν το ελεύθερο να γράψουμε $x = \left( {\sqrt x } \right)^2 ,$ με ότι αυτό συνεπάγεται.
Ας δούμε, κάτω από αυτό το πρίσμα, το γνωστό παράδειγμα που ακολουθεί:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}c} \begin{gathered} a_1 ,a_2 ,...,a_n > 0 \Rightarrow \left( {a_1 + a_2 + ... + a_n } \right)\left( {\frac{1} {{a_1 }} + \frac{1} {{a_2 }} + ... + \frac{1} {{a_n }}} \right) = \left[ {\left( {\sqrt {a_1 } } \right)^2 + \left( {\sqrt {a_2 } } \right)^2 + ... + \left( {\sqrt {a_n } } \right)^2 } \right] \cdot \hfill \\ \cdot \left[ {\left( {\sqrt {\frac{1} {{a_1 }}} } \right)^2 + \left( {\sqrt {\frac{1} {{a_2 }}} } \right)^2 + ... + \left( {\sqrt {\frac{1} {{a_n }}} } \right)^2 } \right] \geqslant \left( {\sqrt {a_1 } \cdot \sqrt {\frac{1} {{a_1 }}} + ... + \sqrt {a_n } \sqrt {\frac{1} {{a_n }}} } \right)^2 \geqslant n^2 , \hfill \\ \end{gathered} \\ {{\rm A}\Pi {\rm O}\quad B - C - S.} \\ \end{array} } \right.$

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

S.E.Louridas

konstantinos21 · #212

S.E.Louridas έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 95:

$\left( {a,b,c,d > 0} \right)\;\kappa \alpha \iota \;\left( {a + b + c + d = 1} \right) \Rightarrow \frac{1} {{a + b}} + \frac{1} {{b + c}} + \frac{1} {{c + d}} + \frac{1} {{d + a}} \geqslant 8.$

$\left[ \left( a+b \right)+(b+c)+(c+d)+(d+a) \right]\left[ \frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+d}+\frac{1}{d+a} \right]\ge 16$ και αφού a+b+c+d=1

προκύπτει η ζητούμενη σχέση

#213

socrates έγραψε: Άσκηση 83
Αν θετικοί ακέραιοι τέτοιοι ώστε να δείξετε ότι ο αριθμός είναι πολλαπλάσιο του

Υπόδειξη:

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

socrates έγραψε:Άσκηση 50
α) Να δείξετε ότι μπορούμε να τοποθετήσουμε 20 μη μηδενικούς ακεραίους, όχι απαραίτητα διαφορετικούς, στη σειρά έτσι ώστε το άθροισμά τους να είναι θετικό, ενώ το άθροισμα οποιονδήποτε τριών διαδοχικών να είναι αρνητικό.
β) Δείξτε ότι δε μπορούμε να κάνουμε το ίδιο σε ένα κύκλο.

Marios V. · #214

Karanus έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 94
Δίνονται οι αριθμοί $\alpha =\nu \left(\nu -1 \right)$ και $\beta =\left(\nu +1^ \right)^{2}$
οπου ν θετικός ακέραιος.Να αποδειχθεί ότι οι αριθμοί α και β έχουν διαφορετικό άθροισμα ψηφίων.

αν

, έχουμε ότι $3|(n+1)^{2}$ και $n(n-1)\equiv 2 (mod3)$
αν n+1

δεν είναι πολλ. του

, έχουμε ότι $(n+1)^{2}\equiv 1 (mod3)$ και $n(n-1)\equiv 0 (mod3)$
οπότε $a\neq b (mod3)$ , και επειδή κάθε αριθμός είναι ισότιμος modulo 3

με το άθροισμα των ψηφίων του, τα αθροίσματα των ψηφίων τους θα είναι ανισότιμα και άρα άνισα.

#215

Φερμά_96 έγραψε:94.
αν , έχουμε ότι $3|(n+1)^{2}$ και $n(n-1)\equiv 2 (mod3)$
αν δεν είναι πολλ. του , έχουμε ότι $(n+1)^{2}\equiv 1 (mod3)$ και $n(n-1)\equiv 0 (mod3)$
οπότε $a\neq b (mod3)$ , και επειδή κάθε αριθμός είναι ισότιμος με το άθροισμα των ψηφίων του, τα αθροίσματα των ψηφίων τους θα είναι ανισότιμα και άρα άνισα.

Αν θέλει ο εξαιρετικός λύτης Φερμά-96, ας δώσει πιο κατανοητή λύση για την άσκηση αυτή γιατί οι μικροί μαθητές δεν κατανοούν τις έννοιες όπως "κάθε αριθμός είναι ισότιμος modulo3 με το άθροισμα των ψηφίων του".

S.E.Louridas · #216

ΑΣΚΗΣΗ 95
Αν
$\left( {x,y > 0} \right)\;\kappa \alpha \iota \;\left( {5x + 6y = 7} \right),$
να υπολογιστεί το maximum (=Μέγιστο) της παράστασης
A = x^2 y^3 .

S.E.Louridas

Marios V. · #217

βέβαια κ. Δημήτρη

Karanus έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 94
Δίνονται οι αριθμοί $\alpha =\nu \left(\nu -1 \right)$ και $\beta =\left(\nu +1^ \right)^{2}$
οπου ν θετικός ακέραιος.Να αποδειχθεί ότι οι αριθμοί α και β έχουν διαφορετικό άθροισμα ψηφίων.

πιο αναλυτικά:
1η περίπτωση: n+1

πολλ. του

προφανώς το $(n+1)^{2}$ είναι επίσης πολλ. του

.
ακόμα, ούτε το

, ούτε το

είναι πολλ. του

, αφού σε κάθε τριάδα αριθμών μόνο ο ένας είναι πολ. του

.
οπότε πρέπει ο ένας είναι της μορφής 3k+1

, και ο άλλος της μορφής 3k+2

. Πολλαπλασιάζοντας βρίσκουμε ότι ο n(n-1)

είναι επίσης της μορφής 3k+2

, δηλαδή όταν διαιρεθεί με το

δείνει υπόλοιπο

.

2η περίπτωση: n+1

όχι πολλ. του

το τετράγωνο ενός αριθμού που δεν είναι πολλαπλάσιο του

, είναι πάντα της μορφής 3k+1

δηλαδή όταν διαιρεθεί με το

δείνει υπόλοιπο

. επειδή ανάμεσα σε τρεις διαδοχικούς αριθμούς ο ένας είναι πάντα πολλ. του

, έχουμε ότι είτε ο

, είτε ο

είναι πολλ του

, και άρα το ίδιο ισχύει και για το γινόμενο τους.

Ξέρουμε όμως ότι ένας αριθμός είναι πολλαπλάσιο του

αν και μόνο αν το ίδιο ισχύει και για το άθροισμα των ψηφίων του. Και στις δυο πιο πάνω περιπτώσεις, ο ένας από τους δυο αριθμούς μας διαιρείται με το

, και άρα το ίδιο ισχύει για το άθροισμα των ψηφίων του, και ο δεύτερος δεν διαιρείται με το

και άρα το ίδιο ισχύει για το άθροισμα των ψηφίων του. αλλά αφού το άθροισμα των ψηφίων του πρώτου διαιρείται με το

, και το άθροισμα των ψηφίων του δεύτερου όχι, τότε τα δυο αθροίσματα δεν μπορούν να είναι ίσα.

Karanus · #218

Να γράψω κάτι για την 94 που έπρεπε να το είχα αναφέρει ώστε να μην χρειαστούν ισοτιμίες (mod)

1."Αν οι αριθμοί α και β άχουν το ίδιο άθροισμα ψηφίων, τότε η διαφορά τους διαιρείται με το 3."
2."Το υπόλοιπο που αφήνει ένας αριθμός α διαιρούμενος με τον 3 είναι το ίδιο με αυτό που αφήνει ο αριθμός που είναι το άθροισμα των ψηφίων του α διαιρούμενο με τον 3"

παράδειγμα: 374=3.124+2 , το άθροισμα ψηφίων του 374 ειναι 3+7+4=14 , οπότε 14=3.4+2 δηλ. και το 14 διαιρούμενο με 3 αφήνει υπόλοιπο 2.

Τώρα μπορούμε να περιμένουμε και μια πιο μαζεμένη λύση .

spiros filippas · #219

Για την 94 λίγο διαφορετικά.

Αν 2 αριθμοί έχουν ίδιο αθροισμα ψηφίων τότε η διαφορά τους είναι διαιρετή από το 3.

Εστω λοίπον οτί αυτοι οι αριθμοί έχουν ίδιο αθροισμα ψηφίων. Η διαφορά τους είναι ίση με :

$\beta -\alpha =n^2+2n+1-n^2+n=3n+1$ ,άτοπο.

Y.Γ Ενας τρόπος να καταλάβει κάποιος την παραπάνω πρόταση είναι η αποδειξη του ίδιου του κριτηρίου διαιρετότητας του 3 (και του 9).

Γραφω την απόδειξη γιά εναν τετραψήφιο καί ομοίως είναι για αυθαίρετο πλήθος ψηφίων.

Έχουμε: $\overline{abcd}=1000a+100b+10c+d=3^2(111a+11b+c)+a+b+c+d=9k+a+b+c+d$ . Από την τελευταία έπεται οτί...

#220

spiros filippas έγραψε:Μια διαφορετική αντιμετώπιση για την 88.

Από ΑM-GM έχουμε:

$a^3+a^3+b^3\geq 3a^2b~~(1)$

$b^3+b^3+c^3\geq 3b^2c~~(2)$

$c^3+c^3+a^3\geq 3c^2a~~(3)$

με πρόσθεση κατά μελη των (1),(2) και (3) και διαίρεση δία τρία προκύπτει το ζητούμενο.

Σπύρο, συγχαρητήρια και από μένα.

Παρακολουθώ με προσοχή τις ωραίες σου λύσεις. Δείχνουν μία σπάνια ευχέρεια, ιδίως στα θέματα των ανισοτήτων.

Φέτος ο Σπύρος είναι μαθητής στη Β' Γυμνασίου.

Αλλά, το μήλο κάτω από την μηλιά θα πέσει. (Για όσους δεν το γνωρίζουν, είναι γιoς του Στάθη Φίλιππα, Καθηγητή στο Τμήμα Εφαρμοσμένων Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Κρήτης, με Διδακτορικό από το Courant).

Επίσης, ο Σπύρος είχε διάκριση στον διαγωνισμό Καγκουρό.

Μιχάλης Λάμπρου

Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Μέλη σε σύνδεση