Καταπληκτική λύση και θα την χαρακτήριζα και διδακτική.

Να βρεθούν όλες οι συνεχείς συναρτήσεις f:(1,$\propto )\rightarrow$R τέτοιες ώστε για κάθε $x,y>1:f(xy)=xf(y)+yf(x)$. Σημ.: Έχω λύση αν γνωρίζουμε ότι η f είναι παραγωγισιμη και δυστυχώς δεν κατάφερα από την συνέχεια να αποδείξω την παραγωγισιμότητα οπότε λύση έτσι πως την ζητάει η εκφώνηση δεν έχω....

Συμφωνώ απόλυτα με τον Nick1990 και θα ήθελα επιπλέον να πω ότι με τέτοιου είδους θέματα αποθαρρύνουμε τον σκεπτόμενο μαθητή και δεν προάγουμε τη σκέψη αλλά τις μεθοδολογίες που κατά τι γνώμη μου αποτελούν ένα ελάχιστο μέρος των μαθηματικών. Οπότε πιστεύω ότι είναι καλύτερο να μπαίνουν δύσκολα θέματ...

Επαναφορά

Συμφωνώ με τον Demetres ότι δεν ξέρουμε αν η κάλπικη λίρα είναι βαρύτερη ή ελαφρύτερη από τις άλλες, οπότε αν το δεχτούμε εμείς από μόνη μας τότε έχουμε επιπλέον πληροφορία και το πρόβλημα αλλάζει. Επίσης έγινε η μετατροπή από λύρες σε λίρες.

Καλησπερίζω τα εξαίρετα μέλη :logo: . Αν και έχω καιρό να κάνω δημοσίευση, σας παρακολουθώ και χαίρομαι που το :logo: συνεχίζει την προσπάθειά του για την όξυνση και την καλλιέργεια της σκέψης του λύτη και χαίρομαι για αυτό, γιατί νομίζω ότι όλα τα άλλα τα δίνει το εκπαιδευτικό σύστημα εκτός αυτό, τ...

Συγχαρητήρια!! Εύχομαι καλή επιτυχία και καλοτάξιδο το βιβλίο.

Χρόνια πολλά σε όλους τους συντονιστές, επιμελητές και μέλη του και καλά Χριστούγεννα στις οικογένειες τους.

Όμορφη η άσκηση αλλά θα δώσω μία σύντομα γραμμένη λύση. ${{\left( 3+{{4}^{\log _{7}^{x}}} \right)}^{\log _{7}^{4}}}=x-3,x\ge 3\Rightarrow$ (μετά από λίγες πράξεις) $\Rightarrow 3+{{x}^{\frac{1}{\log _{4}^{7}}}}={{(x-3)}^{\log _{4}^{7}}}$ ονομάζω για ευκολία $a=\log _{4}^{7}$ και θεωρώ $f(x)={{(x-3)}...

Η λύση μου ήταν λάθος, οπότε την διαγράφω.

Επαναφορά.

Μια λύση με επιφυλάξεις. $g(n)=n\left( f(n+1)-f(n) \right),\forall n\in \mathbb{Z},(1)$ και $f(n),g(n)\in \mathbb{Z}$ και $g(0)=0$ Επίσης αφού $g$ περιοδική άρα $g(n)=g(n+kT),T=\sigma \tau \alpha \theta .,T\in {{\mathbb{Z}}_{>0}},\forall n,k\in \mathbb{Z},(2)$ $(2):n=0:g(0)=g(kT)\Rightarrow g(kT)=0,...

Λίγο πιο απλά χωρίς να χρειαστεί να το παρατηρήσουμε τον παραπάνω μετασχηματισμό. Θεωρούμε την $f(y)={{3}^{x-y}}(x+y+2)-6x-3,x,y\ge 0$ ${f}'(y)=-{{3}^{x-y}}(x+y+2-ln3)<0$ , άρα $f$ γν. φθίνουσα και αφού $f(x-1)=0,\forall x\ge 0$ άρα $f(y)=f(x-1)\overset{f:1-1}{\mathop{\Rightarrow }}\,y=x-1$ . Η συνέ...

Η λύση είναι λάθος και την αφήνω μόνο για να μάθουν όσοι δεν το ξέρουν αυτό το λάθος. Μια περίπλοκη λύση: $f({{x}^{2}}+f(y)-y)={{f}^{2}}(x)-2013f(y),(1)$ $(1):y=0:f({{x}^{2}}+f(0))={{f}^{2}}(x)-2013f(0),(2)$ $(1):x=0:f(f(x)-x)={{f}^{2}}(0)-2013f(x),(3)$ $(1):y={{x}^{2}}:f\left( f({{x}^{2}}) \right)=...

Ευχαριστώ για τις απαντήσεις.

Τι σημαίνει ο συμβολισμός ;
Η απορία μου προέκυψε από εδώ viewtopic.php?f=111&t=39776.

Μια λύση για τα α),β) και γ). α) $\centerdot$ Έστω $f$ γν. αύξουσα. $x=y=0:f\left( f\left( f(0) \right) \right)=f(0)-f\left( f(0) \right)$ Έστω $f(0)>0\Rightarrow f\left( f(0) \right)-f(0)>0\Rightarrow f\left( f\left( f(0) \right) \right)<0<f(0)\Rightarrow$ $f\left( f(0) \right)<0<f(0)\Rightarrow f(...

Σας υπερευχαριστώ όλους σας για την ενασχόληση με το θέμα και θα μελετήσω ιδιαίτερα τις παραπομπές του κ. Παρμενίδη. Το συγκεκριμένο πρόβλημα εγώ το βρήκα σε αυτό το site (http://grifoi.org/ypologismoy.html) που έχει γρίφους αλλά αυτό μου κίνησε ιδιαίτερα την προσοχή.

1o ερώτημα: Ναι αυτό εννοώ. 2o ερώτημα: Ναι η διεύθυνση της ταχύτητας είναι μεταβαλλόμενη όσο για το σχήμα θα είναι αυτό 1.gif και το σχήμα είναι ανεξάρτητο της ταχύτητας. Ακόμα δεν έχω την την εξίσωση της τροχιάς που ακολουθεί το κάθε σώμα και γι' αυτό θέλω να δω αν μπορεί να το σχεδιάσει το GeoGeb...