Το , σύμφωνα με τη σχέση γράφεται ως

Καλησπέρα, έδινα στην Γ' Λυκειου. Απλά να παρατηρήσω οτι και εγώ αλλά και δύο κορυφαίοι Μαθηματικοί στο εξεταστικό κέντρο που έδινα, κάναμε ακριβώς το ίδιο λάθος με τις επίσημες λύσεις στο 3ο. Ωστόσο υπήρχε μαθήτρια που το έλυσε σωστά ( ή τουλάχιστον παρατήρησε οτι μπορεί να ειναι και αρνητικοί γιατ...

Θέτω ένα ωραίο, κατά τη γνώμη μου, πρόβλημα που μου δόθηκε από έναν δάσκαλο μου. Έστω $a>0$ και η συνάρτηση $f:(a,+\infty) \to R_+$ είναι γνήσια αύξουσα. Αν υπάρχει $b>0$ ώστε $\displaystyle{\lim_{x \to +\infty}\frac{f(x+b)}{f(x)}=1}$ τότε να δειχθεί ότι για κάθε $c>a$ ισχύει ότι $\displaystyle{\lim...

Να υποθέσω ότι και η παρακάτω απόδειξη είναι λάθος;

http://www.youtube.com/watch?v=E-d9mgo8 ... e=youtu.be

AΣΚΗΣΗ 390: Να βρεθούν οι μη αρνητικοί ακέραιοι όταν οι και ειναι ταυτόχρονα τέλεια τετράγωνα.

α) $A_1D_1\parallel AD\parallel BC$ και αφού $OH\perp BC$ είναι $OH\perp A_1D_1$. Επιπλέον αφού $\triangle A_1OD_1$ ισοσκελές, $OH$ μεσο$\perp A_1D_1$ άρα $HA_1=HD_1$. Αρκεί άρα $\angle A_1HD_1=60^o$, όμως από το ισόπλευρο $\triange ABO, BA_1\perp AO$ δηλ. $BA_1OH$ εγγράψιμο. Αυτό σημαίνει ότι $\ang...

Στο μεταξύ, έχουμε σε εκκρεμότητα και την επίλυση της εξίσωσης $\displaystyle{5^n -1=m^2}$, όπως και πιο πάνω έχει γράψει ο "Αρχιμήδης 6". Αυτήν ακόμα την προσπαθώ, χωρίς όμως αποτέλεσμα μέχρι στιγμής... Πρόκειται για ειδική περίπτωση της διοφαντικής εξίσωσης των Nagell-Ljunggren, με $x=5$ και $q=2...

Μετά από λίγη βοήθεια από τον socrates βάζω την λύση μου: Από την υπόθεση έχουμε ότι $p\mid x^3-y^3 \Leftrightarrow p\mid (x-y)(x^2+xy+y^2) \Leftrightarrow p\mid x^2+xy+y^2$ αφού $x-y<p$ Όμοια $p\mid y^2+yz+z^2$ και $p\mid z^2+zx+x^2$ Απ'αυτές βρίσκουμε ότι $\bullet$ $p\mid (x^2+xy+y^2)-(y^2+yz+z^2)...

Πάντως αν βρίσκεσαι σε μια παρέα (και θες π.χ. να βάλεις ένα μαθηματικό πρόβλημα) πιο πιθανό είναι να χρησιμοποιήσεις την λέξη γρίφος παρά πρόβλημα. Είναι πιο "πιασάρικο". Υπ'αυτήν την έννοια λοιπόν ο γρίφος είναι η κοινωνικοποίηση του προβλήματος.

Έστω τρίγωνο με και το ίχνος του ύψους από το .
Η κάθετη από το προς την την τέμνει στο σημείο .
Έστω ακόμα σημείο της έτσι ώστε . Να αποδείξετε ότι

Για το πρώτο.. Παρατηρούμε ότι $f(3)=23=2^3+3\times 2^2+2\times 2 -1$ $f(4)=59=3^3+3\times 3^2 + 2\times3 -1$ $f(5)=119=4^3+3\times4^2 +2\times4 -1$ οπότε θα αποδείξουμε με επαγωγή ότι $f(x+1)=x^3+3x^2+2x-1$, $x\geq 2$ Για $x=2$ το δείξαμε, έστω τώρα ότι ισχύει για $x=k$. Με $x=k+1$ θέλουμε να δείξο...

Υπάρχει και ένα άλλο ντοκιμαντέρ του ίδιου τύπου για την Βρετανική ομάδα του 2007, που για να είμαι ειλικρινής μου άρεσε περισσότερο. Λέγεται Beautiful Young Minds και μπορείτε να τo βρείτε (σε 6 parts) εδώ.

ΑΣΚΗΣΗ 716

Έστω και δυο μεταθέσεις των ακεραίων από το μέχρι το .
Να δείξετε ότι μεταξύ των γινομένων υπάρχουν που έχουν ίδιο υπόλοιπο .

Είναι γνωστό ότι η διαφορά $x-[x]$ είναι ίση με $\{x\}$, δηλαδή με το κλασματικό μέρος του $x$. Εύκολα αποδεικνύεται πως όταν $1> \{x\}\geq \frac{1}{2}$ τότε $[2x]=2[x]+1$ ενώ όταν $\frac{1}{2}> \{x\}\geq 0$ τότε $[2x]=2[x]$ Διακρίνουμε τις περιπτώσεις: $\bullet [2x]=2[x]+1$: τότε από την αρχική εξί...

Χωρίς βλάβη της γενικότητας θέτω $c=\min \left\{a,b,c \right\}$ οπότε έχω τις 2 περιπτώσεις $a\geq b \geq c$ , $b\geq a\geq c$. Η πρώτη προκύπτει από την ανισότητα της αναδιάταξης για τις διαφορετικής μονοτονίας $3\alpha \delta \varepsilon \varsigma$ $a^3,b^3,c^3$ και $\frac{1}{a^4}, \frac{1}{b^4}, ...

Φέρω $AE\perp DC$ οπότε αφού $\angle ADC=\angle DBC+ \angle DCB=60^{\circ}$ θα είναι $\angle EAD=30^{\circ}$ και άρα $DE=\frac{DA}{2}=k$. Αν φέρουμε τώρα την $BE$ βλέπουμε ότι $\angle DBE=\angle DEB=\frac{180-120}{2}=30^{\circ}=\angle EAD$. Άρα το $\triangle AEB$ είναι ισοσκελές με $AE=BE$ . Ακόμα ε...

3. Έστω $\displaystyle{a , b , c}$ ακέραιοι αριθμοί, τέτοιοι ώστε $\displaystyle{(a-b)(b-c)(c-a)=a+b+c}$. Nα αποδείξετε ότι ο αριθμός $\displaystyle{a+b+c}$ , διαιρείται με το $27$. Αν οι a,b,c αφήνουν διαφορετικό υπόλοιπο στην διαιρεση με το 3 τοτε το 3 διαίρει το δεξί μέλος ενώ το αριστερό όχι. Ά...

H σχέση αυτή (α-1)(31-α)=b*b(δεν ήξερα πως να συμβολίσω το τετραγώνου) μπορεί να προκύψει από τον πολ\σμο κατά μελή των παρακάτω σχέσεων > (α-1)=b και (31-α)=b . Λύνοντας ως α-1=31-α προκύπτει ότι α=16 και αντικαθιστώντας το σε μια απο της δυο σχέσεις α-1=b η 31-α=b b=15 Ναι μόνο που μπορεί να προκ...

Αν επιτρέπονται οι παρενθέσεις τότε

Ναι δίκαιο έχετε. Προτείνω την μετακίνηση της στον αντίστοιχο φάκελο για το γυμνάσιο.