Καλησπέρα σας (καλά τι καλησπέρα, καληνύχτα πρέπει να πω). Πολλοί ίσως να έχετε ακουστά την "mock" ολυμπιάδα που διοργανώνει κάθε χρόνο το MOP/AoPS, την ELMO (κάθε χρόνο η σημασία του ακρωνύμιου αλλάζει, το αγαπημένο μου είναι του 2020, E lmo L iterally M oved O nline). Τέλος πάντων. Στην Ελλάδα γεν...

Να δείξετε ότι υπάρχουν άπειρα το πλήθος ζεύγη σχετικά πρώτων θετικών ακεραίων αριθμών $(a, b)$, τέτοια ώστε το $a + b$ να διαιρεί το $a^b + b^a$. Κάτι άλλο θα εννοείς γιατί αν $a$ οποιοσδήποτε και αν $b=1$, τότε $a+b=a+1$ που διαιρεί τον $a^b+b^a= a+1$. (Toυλάχιστον αυτό βλέπω στο αεροδρόμιο Θεσσα...

Να δείξετε ότι υπάρχουν άπειρα το πλήθος ζεύγη σχετικά πρώτων θετικών ακεραίων αριθμών με , τέτοια ώστε το να διαιρεί το .

Έστειλα email στην ΕΜΕ. Μου είπαν για 4/11, αλλά περιμένουν έγκριση από το υπουργείο παιδείας.

Για δεδομένη συνάρτηση $\displaystyle{f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}}$ και για κάθε $m, n \in \mathbb{N}$, ορίζουμε $\displaystyle{\Delta(m,n)=\underbrace{f(f(\ldots f}_{f(n)\text{ times}}(m)\ldots))-\underbrace{f(f(\ldots f}_{f(m)\text{ times}}(n)\ldots))}$ Έστω πως $\displaystyle{\Delta(m, n) \neq 0...