Από τις προκύπτει το ζητούμενο.

Σωστό είναι.

Καλησπέρα σε όλους. Μια σκέψη για το (5) ώστε να μην μείνει ανολοκλήρωτη. Εφαρμόζοντας Θεώρημα Μέσης Τιμής για την $f$ στο $[2,a]$ λαμβάνουμε ότι: $\exists\xi_1 \in (2,a):f'(\xi_1)=\frac{f(a)-f(2)}{a-2}$ $(1)$ Επίσης, εφαρμόζοντας Θεώρημα Μέσης Τιμής για την $f$ στο $[a,a+2]$ λαμβάνουμε ότι: $\exist...

$\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{x^{2}-3x+2}{5+\eta \mu x}$ $-1\leq \eta \mu x\leqslant 1\Rightarrow 4\leq 5+\eta \mu x\leqslant 6\Rightarrow \frac{1}{6}\leqslant \frac{1}{5+\eta \mu x}\leqslant \frac{1}{4}$ $\lim_{x\rightarrow +\infty }(x^{2}-3x+2)=\lim_{x\rightarrow +\infty }x^{2}=+\infty$ άρα ...

Συμφωνώ κύριε Σταύρο.

Προέρχεται από διαγώνισμα προσομοίωσης του κυρίου Καραγιάννη Ιωάννη (σχολικού συμβούλου).

Το δικαιολογεί μάλιστα με το ολοκλήρωμα περιττής που βγαίνει μηδέν αλλά έτσι το μηδέν ανήκει στο διάστημα ολοκλήρωσης, η συνάρτηση μηδενίζεται και οδηγούμαστε σε άτοπο.

Καλησπέρα σε όλους.

Παραθέτω ένα Σ-Λ στο οποίο θα ήθελα την γνώμη σας διότι η απάντησή μου είναι διαφορετική από αυτήν του θεματοθέτη.

Επιτρέψτε μου να ανφέρω μετά την πηγή.


Αν συνεχής με για κάθε , τότε ισχύει πάντοτε .

Μια παρέμβαση αν μου επιτρέπεται.

Για να αναφέρουμε την πηγή, να πω ότι η άσκηση είναι από διαγώνισμα προσομοίωσης του σχολικού συμβούλου, κυρίου Καραγιάννη Ιωάννη.

A) $\Rightarrow {e}^{f(x)}f'(x)=-cosx+c_1$ Για $x=\frac{\pi}{2} \Rightarrow c_1=1$ $\Rightarrow {e}^{f(x)}=-sinx+x+c_2$ Για $x=\frac{\pi}{2} \Rightarrow c_2=0$ $\Rightarrow f(x)=ln(x-sinx),x>0$ και ορίζεται διότι $sinx<x,\forall x>0$ B) $g(x)=f(x)\Leftrightarrow lnx=ln(x-sinx)\Leftrightarrow sinx=0\...

Εφόσον είναι συμμετρικές ως προς την διχοτόμο , δεν βλέπω το γιατί να θέλει απόδειξη.

Μια αντιμετώπιση εν τάχει για να πάμε για :sleeping: . 1) Αρχικά, ικανοποιούνται οι προυποθέσεις του Θεωρήματος του Fermat και το $1$ εσωτερικό άρα $f'(1)=0$ Επίσης για $x=e$ από δοθείσα σχέση έχω ότι $f'(e) \geq 1, (1)$ Θεωρώ συνάρτηση $h(x)=f(x)-xlnx+x, x>0$ $$Έχουμε διαδοχικά ότι, $h'(x)=f'(x)-ln...

ΑΣΚΗΣΗ 29 Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f(x)=ln^3x+3lnx-\frac{3}{2}x^2,x>0}$ 1) Aποδείξτε οτι $ln^3x+3lnx+f(3)<f(2)-f(1)x^2,x>0$ 2) Bρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης $\displaystyle{ln^3x+lnx^3=\displaystyle{lne^{\displaystyle{\frac{3}{2}x^2+a}}}, a \in \mathbb{R}}$ 3) Aποδείξτε οτι $\dis...

4) Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδική συνάρτηση που ικανοποιεί τα αρχικά δεδομένα, η οποία μάλιστα είναι περιττή. Αφορμής δοθείσης, μιας και ξεθάφτηκε αυτό το όμορφο θέμα, ας γράψω για αυτό το ερώτημα μια διαφορετική αντιμετώπιση από αυτή του chris_gatos. Θεωρώ συνάρτηση $g(x)=x^5 +5x, x\in \mathbb...

ΆΣΚΗΣΗ 28 $\displaystyle{\begin{gathered} \frac{{{f^5}\left( x \right)}}{5} + f\left( x \right) = x \Leftrightarrow f\left( x \right)\left( {\frac{{{f^4}\left( x \right)}}{5} + 1} \right) = x\mathop \Rightarrow \limits^{\frac{{{f^4}\left( x \right)}}{5} + 1 > 0} \left\{ \begin{gathered} x > 0 \Righ...

Στο δεύτερο κλάσμα προσθέτουμε πάνω και κάτω το 1 και έτσι δεν αλλάζει η αξία του κλάσματος. Καλησπέρα. Αρχικά προσπάθησε να γράψεις με $LATEX$ όπως ορίζουν οι κανόνες του φόρουμ. Τώρα για την άσκηση, προσοχή αυτό που γράφεις είναι σοβαρό λάθος. Για παράδειγμα ,$\displaystyle{\frac{1 \color{red}{+1...

,

,

Διαφορετικά για το δ), Εφαρμόζοντας το $\Theta MT$ για την $h$ στα διαστήματα $\left[0,1 \right]$ και $\left[1,2 \right]:$ $\displaystyle{\exists \xi_1 \in \left(0,1 \right):h'(\xi_1)=\frac{h(1)-h(0)}{1-0} }$ $\displaystyle{\exists \xi_2 \in \left(1,2 \right): h'(\xi_2)=\frac{h(2)-h(1)}{2-1}}$ $\dis...

Λίγο διαφορετικά για το δεύτερο (βασικά λίγο πιο ομαλά, διότι ουσιαστικά σχεδόν το ίδιο είναι), $\displaystyle{\int_{0}^{1}\cfrac{x^2}{(x+1)^4}dx=\int_{0}^{1}\left(\frac{x}{x+1}\right)^2 \left(\frac{1}{x+1} \right)^2 dx=\int_{0}^{1}\left(1-\frac{1}{x+1}\right)^2 \left(\frac{1}{x+1} \right)^2 dx}$ Κα...

Αφορμής δοθείσης από μια παρατήρηση του Χρήστου Ντάβα. Ας λύσουμε τα δύο πρώτα ερωτήματα γνωρίζοντας ότι η $f$ είναι μία φορά παραγωγίσιμη και όχι δύο. Πιστεύω για τους μαθητές έχουν αξία! Χρήστο σε ευχαριστώ! i) $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{h...

Καλησπέρα.

Θα ήθελα να επισημάνω ότι η δεν παρουσιάζει ολικό μέγιστο/ελάχιστο στο ,οπότε ίσως πρέπει να αναφερθεί στο ερώτημα ότι πρόκειται για τοπικά ακρότατα.

Άσκηση 25 ..... Για τη δις παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ , ισχύουν : $f(x)-f''(x)=2e^x+1 , f(0)=2 ,f'(0)=0$ . α) Δείξτε ότι $f(x)=-xe^x+e^x+1$ . β) Δείξτε ότι η $f$ έχει μοναδική ρίζα . γ) Βρείτε τη μέγιστη τιμή που μπορεί να πάρει η κλίση μιας εφαπτομένης της $C_{f}$ ...