Αποδείξτε ότι υπάρχει ώστε .

Είναι γνωστό το εξής λήμμα τύπου Leibniz: Λήμμα. Έστω $(x_n)$ ακολουθία φραγμένης κύμανσης (δηλ. $\sum_{n=1}^\infty |x_n-x_{n+1}|<\infty$) με $x_n\to 0$. Τότε, η σειρά $\sum_{n=1}^\infty (-1)^n x_n$ συγκλίνει. Εδώ έχουμε $x_n=f(n)$, όπου $f(x)=\frac{\sin (\log x)}{x^\alpha} , \, x>0$. Εύκολα βλέπουμ...

Έστω ότι $x_{n+1}-x_n\to 0$. Τότε $f(x_n)-x_n\to 0$. Παρατηρούμε ότι κάθε οριακό σημείο της $(x_n)$ είναι σταθερό σημείο της $f$. Έστω ότι η $(x_n)$ δεν είναι συγκλίνουσα. Τότε, $0\leq a=\liminf x_n<\limsup x_n=b\leq 1$. Άρα, το διάστημα $[a,b]$ είναι μη τετριμμένο. Από το θεώρημα Baroni έπεται ότι ...

Φαντάζομαι ότι αυτό θα είχατε στο μυαλό σας: Έστω $(X,\rho)$ μετρικός χώρος με την ιδιότητα: Για κάθε $\varepsilon>0$ υπάρχει αριθμήσιμη κάλυψη $\{C_n\}$ του $X$ με ${\rm diam}(C_n)\leqslant \varepsilon$. Τότε, για κάθε $\varepsilon>0$ και για κάθε συνάρτηση $F:\mathbb R\to X$ υπάρχουν $x,y \in \mat...

Έστω $f(x)$ πολυώνυμο βαθμού $n\geqslant 2$ το οποίο έχει τις εξής ιδιότητες: (α) Όλες οι ρίζες του είναι πραγματικές. (β) Είναι $f(-1)=f(1)=0$ και $f(x)\neq 0$ για κάθε $x\in (-1,1)$. (γ) Είναι $\max_{x\in (-1,1)}f(x)=1$. Αποδείξτε ότι ισχύει $\displaystyle \int_{-1}^1 f(x)\, dx \leqslant \frac{4}{...

Ωραίος Σιλουανέ. Κομψός και σύντομος!

Γράφουμε $T=T_A$ για τον γραμμικό τελεστή που αντιστοιχεί στον πίνακα $A$. Επίσης, γράφουμε $\ell_\infty^n$ για τον $\mathbb R^n$ εφοδιασμένο με την supremum νόρμα $\|\cdot\|_\infty$ και $B_\infty^n$ για τη μοναδιαία μπάλα αυτού του χώρου, δηλαδή τον $n$-διάστατο κύβο $[-1,1]^n$. Η υπόθεση μας λέει ...

1. To $f(\mathbb R)$ είναι μη τετριμμένο διάστημα. Δείχνουμε ότι το $f(\mathbb R)$ δεν είναι άνω φραγμένο. Πράγματι, αν είναι $b=\sup f(\mathbb R)<+\infty$ τότε επειδή, $F(f(x))=(f(x))^2/2$ θα έχουμε $f(y)=y$ για κάθε $y\in f(\mathbb R)$. Λόγω του ότι η $f$ είναι συνεχής και ισχύει $f(y)=y$ για κάθε...

Έστω $\delta>0$ ώστε $f''(x)>1$ και $f'(x)<0$ για κάθε $0<x<\delta$. Έστω $0<x<\delta$. Από το θεώρημα του Taylor στο $[x,\delta]$ παίρνουμε: $f(x)-f(\delta)=(x-\delta)f'(\delta)+\frac{(x-\delta)^2}{2}f''(t)>(x-\delta)f'(\delta)+\frac{(x-\delta)^2}{2}.$ Πολλαπλασιάζοντας με $\frac{1}{f'(x)}<0$ προκύ...

Έστω ότι η $f$ είναι αύξουσα και έστω $x\in \mathbb R$. Τότε, για $x<t<s$ έχουμε $\displaystyle \frac{F(s)-F(t)}{s-t}=\frac{1}{s-t}\int_t^s f\geq f(t)$. Αφήνοντας το $t\downarrow x$ παίρνουμε $\displaystyle \frac{F(s)-F(x)}{s-x}\geq f(x+)$. Όμοια δείχνουμε ότι $\displaystyle \frac{F(s)-F(x)}{s-x}\le...

(Erdos) Έστω σημεία του . Δείξτε ότι .

Ωραία Χρήστο! Αν δεν κάνω λάθος αυτή είναι η προσέγγιση του Pecaric και μάλιστα οι συνθήκες αυτές είναι ισοδύναμες. Να γράψω κανά δυο προσεγγίσεις ακόμη, έτσι για να το διασκεδάσουμε. 2. Το επιχείρημα του Davie: Θεωρούμε τη συνάρτηση $\displaystyle S(x)=\int_a^{a+G(x)} f(t)\, dt - \int_a^x f(t)g(t)\...

Αν η $f$ είναι σταθερή, τότε $f\equiv 0$ που επαληθεύει την εξίσωση. Έστω ότι δεν είναι σταθερή και έστω $J=f(\mathbb R)$. Αν $J=\mathbb R$ τότε έχουμε $F(y)=\frac{y^2}{2}$, όπου $F(y)=\int_0^y f$ κι άρα $f(t)=t, \ t\in \mathbb R$. Έστω ότι $\sup J=b<\infty$ (όμοια η άλλη περίπτωση). Θα καταλήξουμε ...

1. Έστω $(X,\rho)$ συμπαγής και συνεκτικός μετρικός χώρος. Αποδείξτε ότι υπάρχει μοναδικός αριθμός $r=r(X,\rho)>0$ με την ιδιότητα: Για κάθε $n \in \mathbb N$ και για κάθε $x_1,\ldots, x_n\in X$ υπάρχει $z\in X$ ώστε $\displaystyle \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \rho(z,x_i)=r$. 2. Έστω $S^1=\{x : |x|=1 \}$...

Έστω και διακεκριμένοι αριθμοί του . Για κάθε θέτουμε .

Δείξτε ότι .

(Steffensen, 1918) Έστω ολοκληρώσιμη συνάρτηση και . Τότε, για κάθε φθίνουσα συνάρτηση ισχύει:

.

4. Έστω ακολουθία αριθμών και για . Για κάθε ισχύει: , όπου είναι μια απόλυτη σταθερά.

3. Έστω φθίνουσα ακολουθία μη αρνητικών αριθμών με για και κάποια σταθερά . Δείξτε ότι για κάθε και για κάθε ισχύει: .

Έστω $a\in (0,1)$ και $\varepsilon>0$ ώστε $\varepsilon<a<1-\varepsilon$. Με θεώρημα Taylor (η $f'$ είναι συνεχής στο $[\varepsilon,1-\varepsilon]$): Υπάρχει $x_1^\varepsilon\in (\varepsilon,a)$ ώστε $f(\varepsilon)-f(a)=(\varepsilon-a)f'(a)+\frac{(\varepsilon-a)^2}{2}f''(x_1^\varepsilon)$. Όμοια υπ...

Έστω $f:[a,b]\to \mathbb R^+$ κοίλη συνάρτηση, συνεχής και $f\neq 0$. Θέτουμε $\displaystyle \overline{f}=\frac{1}{b-a}\int_a^bf$. Τότε, ισχύουν τα εξής: (α) $0\leq f(x)\leq 2\overline{f}$, για κάθε $x\in [a,b]$. (β) ( Favard, 1933 ) Για κάθε κυρτή συνάρτηση $\phi:[0,2\overline{f}]\to \mathbb R$ έχο...