Τα αποτελέσματα βγήκαν! http://www.hms.gr/?q=node/1514 Συγχαρητήρια σε όλους τους διακριθέντες, αλλά και σε εκείνους που έλαβαν μέρος και απέκτησαν πολύτιμες εμπειρίες! Δυστυχώς βλέπω πολύ λίγα κορίτσια στους επιτυχόντες. Κάνουμε κάτι λάθος στο να κάνουμε θελκτικά τα μαθηματικά στα κορίτσια; Ποια ε...

Σε γενικές γραμμές αυτές είναι οι ιδέες της κατασκευής!

Μπράβο!! Δεν το θεωρώ εύκολο θέμα.

Μετά από πάρα πολύ καιρό ανεβάζω μια γεωμετρία. Έτσι για να μην ξεχνάμε τα παλιά! Δίνονται δύο ίσοι κύκλοι $(O,R)$ και $(N,R)$ και έστω $K$ τυχόν σημείο της κοινής χορδής $AC$. Η δια του $K$ ευθεία κάθετη στη $NK$ τέμνει τον $(O,R)$ στα $B$ και $D$, με $D$ στο ίδιο ημιεπίπεδο με το $N$ ως προς την $...

Να αναφέρουμε μιας και δε δημοσιεύτηκε πως είχαμε ένα χάλκινο μετάλλιο (Ειρήνη Μηλιωρη) και μια εύφημη μνεία (Αγγελικα-Νικητα Μαρία).

Τέλεια, το κατάλαβα το λάθος. Με το σχήμα είναι ξεκάθαρο. Θα το ξαναδώ.

Κύριε Δημήτρη, ίσως δε βοηθάει και η διατύπωσή μου. Αυτό που ουσιαστικά ήθελα να πω είναι πως ξεκινάμε με ένα παραλληλόγραμμο στο χαρτί. Στη συνέχεια θεωρούμε το ίδιο παραλληλόγραμμο μετακινημένο κατά ε>0. Αυτό δημιουργεί επιπλέον 8 παραλληλόγραμμα (η κάθε πλευρά του είναι παράλληλη με 2 από τις πλε...

Η είναι κάθετη στην όπου το αντιδιαμετρικό του , διότι το είναι ως γνωστόν το συμμετρικό του ως προς το . Άρα η είναι παράλληλη στην εφαπτόμενη από το . Συνεπώς από εντός εναλλάξ τα , είναι όμοια με επακόλουθο το συμπέρασμα εγγραψιμότητας.

Για το $4$ των μεγάλων: Θεωρώ ένα χώρο $k$-διαστάσεων και σε κάθε διάσταση ένα παραλληλλόγραμμο εμβαδού $1$ (όλα ίσα μεταξύ τους). Ξεκινώντας επαγωγικά σε $1$ διάσταση έχουμε $$1 παραλληλόγραμμο. Η δεύτερη διάσταση δημιουργεί ακόμη (το πολύ) $8$ παραλληλόγραμμα συνεργατικά με την 1τη και $1$ ακόμη μ...

Μια -δύσκολη μάλλον- δική μου κατασκευή

Αν και να δείξετε ότι:

Η πολύ ωραία λύση του Ορέστη μπορεί να απλοποιηθεί λιγάκι ως εξής: 1) Η ισότητα $<ELB=<GLD$ ισχύει επειδή η $LB$ είναι συμμετροδιάμεσος. 2) Η παραλληλία των $AD$ και $MK$ προκύπτει από τη γνωστή ομοιοθεσία που στέλνει τον εγγεγραμμένο στον παρεγγεγραμμένο. Πράγματι αν $D'$ το ίχνος του $K$ στην $BC$...

Σε μισή γραμμούλα με Πασκαλάκο με τα αντιδιαμετρικά των και

Σας ευχαριστώ από καρδιάς. Είναι τιμή μου και μόνο που θυμάστε το όνομά μου. Θερμές ευχές σε όλους!

Για τη συνάρτηση των μεγάλων: $x=y$: $g(x)=f(x-3f(x))$ Άρα ξαναγράφουμε: $f(x-3f(y))=xf(y)-yf(x)+f(x-3f(x))$ $x=0$: $f(-3f(y))=-yf(0)+f(-3f(0))$ Αν $f(0)$ διάφορο του $0$ τότε η $f$ είναι 1-1 και επί, άρα ΠΑΝΤΑ υπάρχει $u$ ώστε $f(u)=0$. $y=u$: $(u+1)f(x)=f(x-3f(x))$ Αντικαθιστούμε στην αρχική: $f(x...

Με αφορμή το τελευταίο σχόλιο του κυρίου Στάθη Κούτρα να προσθέσω πως το συμπέρασμα πράγματι είναι ακριβώς το θεώρημα της Πεταλούδας 'ξεδιπλωμένο'. Είναι απολύτως λογικό να ισχύει και για τις τομές της χορδής με τις άλλες δύο πλευρές του εγγραψίμου λόγω απλής εναλλαγής γραμμάτων. Ένα άλλο θεώρημα πο...

Να πω για το διαγωνισμό μια γνώμη. Παρόλο που πρόκειται για μια πολύ καλή προσπάθεια συνολικά και τα προβλήματα ως επί το πλείστον είναι όμορφα, δεν υπάρχει ποτέ περίπτωση να αποκτήσει κύρος, διαφάνεια και ουσιαστική αξία (όπως οι λοιποί διεθνείς διαγωνισμοί της ίδιας κατηγορία) όσο επιτρέπεται η συ...

Πολύ ωραία! Μπορεί στην εκφώνηση να παραλειφτεί το σημείο C κάνοντας έτσι την πεταλούδα πιο κρυφή και φυσικά την άσκηση πιο δύσκολη. Επίσης μετά την πεταλούδα τελειώνει αμέσως και με το αντίστροφο του θεωρήματος Pascal!

Έστω εγγεγραμμένο σε κύκλο κέντρου και έστω το σημείο τομής των διαγωνίων του. Η κάθετη στο στην τέμνει το στο εσωτερικό του στο . Οι και τέμνονται στο . Αν ισχύει , να υπολογίσετε τη γωνία .

Ωραία λύση!! Το σκεπτικό στη δική μου ήταν το ίδιο σαν πορεία με το πείραγμα του παρονομαστή αλλά με λίγο πιο 'δύσκολες' ανισότητες. Δεν το είχα δει αυτό!

Έστω θετικοί πραγματικοί με . Να δειχθεί η ανισότητα:

Επιτρέψτε μου να πω (δεν είμαι ο αρμόδιος αλλά έχω συναντήσει παραδείγματα σε διαγωνισμούς) πως δεν έχει σημασία αν ο μαθητής δείξει ότι ξέρει. Και οι Ρουμάνοι έδειξαν σίγουρα πως ξέρουν και ουκ ολίγες φορές σε διαγωνισμούς μπορεί κάποιος να γράψει ή περιγράψει τη σχετική θεωρία χωρίς όμως να λάβει...