Παρατήρησα ότι έκανα ενα λάθος στους περιορισμούς και τελικά το μόνο που βγάζω είναι: Θέτουμε $\displaystyle{g(u)=\tan u \,\, ,u\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})}$ και $\displaystyle{\tan\frac{x}{2}=t \,\, , x\in(2g^{-1}(\frac{-\pi\sqrt{2}-1}{3}),2g^{-1}(\frac{\pi\sqrt2-1}{3}))}$ και επομένως $t\in(...

Καλησπέρα , είναι εφικτό να βρούμε μια παράγουσα της $\displaystyle{f(x)=\frac{1}{3+sinx}}$ στο $\mathbb{R}$ ; Προσπαθώντας να υπολογίσω το ολοκλήρωμα $\displaystyle{\int \frac{1}{3+sinx}dx}$, θέτω $\tan (\frac{x}{2})=t$ και υπολογίζεται εύκολα, αλλά έχουμε $x\neq (2k+1)\pi \,\, ,k\in \mathbb{Z}$ Ευ...

Πρώτα απ΄όλα θέλω να σας ευχαριστήσω για τις άμεσες απαντήσεις, αν και εγώ απαντάω λίγο καθυστερημένα λόγω εξεταστικής.Επίσης θέλω να σας ευχαριστήσω διότι οι απαντήσεις σας με βοήθησαν πολύ ώστε να καταλάβω τη μέθοδο αντικατάστασης στα ορισμένα. Σχετικά με το αόριστο ολοκλήρωμα τώρα, το βιβλίο μου ...

Καλησπέρα :logo: , τον τελευταίο καιρό με έχει μπερδέψει αρκετά το θεώρημα αντικατάστασης στα ολοκληρώματα. Παραθέτω όπως έχει διατυπωθεί εδώ και εδώ το θεώρημα αντικατάστασης στα ορισμένα ολοκληρώματα: Αν η $g$ έχει συνεχή παράγωγο $g'$ στο διάστημα $[c,d]$ και $f$ είναι συνεχής στο $g([c,d])$ τότε...

Να βρείτε το σύνολο τιμών των παρακάτω συναρτήσεων:

Τυχαία βρήκα αυτό : viewtopic.php?f=28&t=9971
,όπου το ίδιο ερώτημα έχει διατυπωθεί καλύτερα και νομίζω πως έχει απαντηθεί πλήρως από τον Σεραφείμ.

BILLVED έγραψε:Υπάρχει κάποια πρώτη εικόνα από βαθμολογικά κέντρα για το πως έγραψαν οι μαθητές σε γενική και κατεύθυνση;

Θα ήθελα να επαναφέρω την ερώτηση.

Στο Δ3 έκανα το εξής. Είχα θέσει στο Δ1 $g_1(x) = (x - 1)e^x + 1, x \in R$, που χρειάζεται για την απόδειξη της μονοτονίας της $f$. Μετά παρατήρησα πως είναι $(x - 1)e^x = e \Longleftrightarrow g_1(x) = e + 1$. Έτσι, έχοντας δείξει από το Δ1 πως $ming_1 = g_1(0) = 0$, είπα πως αφού $g_1:$ γν. αύξου...

Για το Δ2 και στην ίδια λογική με τον karas51 Έστω $F(x)=\int_{1}^{x}{f(t)dt}$ , $x \epsilon R$ . Τότε, $F'(x)=f(x)>0$ άρα η $F$ είναι $1-1$ Επίσης $F(1) = 0$ άρα η εξίσωση ισοδύναμα γράφεται $F(2f'(x)) = F(1) \Leftrightarrow 2f'(x) = 1 \Leftrightarrow ...$ Και εγώ το ίδιο έκανα αλλά δε βρήκα λόγο ...

dr.tasos έγραψε:Προσωπικά τα θέματα θεωρώ πως δεν έδωσαν το απαιραιτητο ανοιγμα της ψαλιδας αναμεσα στον πολυ καλά διαβασμένο και στην πλειοψηφία .

Σε αυτό θα συμφωνήσω με τον Τάσο, και ελπίζω να μη συμβεί το ίδιο και στα μαθηματικά κατεύθυνσης.

1) $g''(x) \neq 0 \rightarrow g''(x) > 0$ ή $g''(x)<0$ αφού g τρεις φορές παρ/μη άρα η $g'$ γνησίως μονότονη .Θεωρώ συνάρτηση $h(x)=g'(g'(x))$ ορισμένη στο αντίστοιχο διάστημα με $h'(x)=g''(g'(x))g''(x)$. Αφού $g''$ διατηρεί σταθερό πρόσημο και δεν μηδενίζεται $h'(x)>0$ άρα η $h$ γνησίως αύξουσα $h...

Καλημέρα,
θα ήθελα τη λύση στα μαθηματικά γενικής, στο Γ3.β. σχετικά με το εργοστάσιο της πόλης Α
(νομίζω ότι είναι πολύ ασαφές)

Καλησπέρα και από εμένα,
Σχετικά με το Δ4 πως το λύσατε;
Εκτός από τη λύση με ΘΜΤ δε σκέφτηκα κάτι άλλο.
Έχω την εντύπωση ότι βγαίνει αν θέσουμε κάποια συνάρτηση δείξουμε ότι είναι 1-1 κτλ
αλλά έχω κολλήσει και δε βρίσκω κάτι...

Έστω η συνεχής συνάρτηση $\displaystyle{\rm f:[0,1]\to \mathbb{R}}$ για την οποία υπάρχει $\displaystyle{\rm \xi \in (0,1),}$ ώστε $\displaystyle{\rm f(\xi)=0.}$ Να αποδείξετε ότι υπάρχει $\displaystyle{\rm x_0 \in (0,1),}$ ώστε $\displaystyle{\rm x_0 f(x_0)=\int_{0}^{x_0}xf(x)dx.}$ $\displaystyle{...

Αν λέγαμε:
Αν μια συνάρτηση είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο και επιπλέον τότε ;

Καλησπέρα, και ευχαριστώ για την απάντηση.
Η όμως δε θα πρέπει να είναι και γνησίως αύξουσα;

Αν μια συνάρτηση είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο τότε .
Ισχύει η παραπάνω πρόταση ή όχι;

Από το $f(x)(f'(x)-g(x))=0$ για κάθε $\displaystyle{x\in \mathbb{R}}$ δε συνεπάγεται ότι $f'(x)=g(x)$ για κάθε $\displaystyle{x\in \mathbb{R}}$ μιας που μπορεί για κάποια $x$ να είναι $f(x)=0$ και για κάποια άλλα $f'(x)=g(x)$.(Φαντάζομαι γι'αυτό το έχεις κόκκινο) Καμια βοήθεια για το $f'(x)=g(x)$ αν...

Να παρατηρήσω ότι στη λύση του ο κ Βασίλης είχε ότι ενώ και .Αν ήταν ...

Καλημέρα Θάνο. Ας υποθέσουμε ότι $\displaystyle{\rm \Big|z-\frac{1}{z}\Big|< 1}.$ Τότε $\displaystyle{\rm \Big|z^3-\frac{1}{z^3}\Big|=\Big|z-\frac{1}{z}\Big|\Big|(z-\frac{1}{z})^2+3\Big|<4,}$ άτοπο. Άλλος τρόπος: Έστω ότι $\displaystyle{\rm \Big|z-\frac{1}{z}\Big|< 1}$ Τότε $\displaystyle{\rm \Big|...