Μια διαφορετική απόδειξη για τη 2) Θέτω $S=a+b+c , Q=ab+bc+ca$ και $P=abc$ Τότε $a^3+b^3+c^3=S^3-3QS+3P$ $r=\frac{\sqrt{-S^4+4QS^2-8PS}}{2S}$ $R=\frac{P}{\sqrt{-S^4+4QS^2-8PS}}$ Επομένως, η προς απόδειξη σχέση γίνεται $\frac{S^3-3QS+3P}{P}\geq 4-\frac{2(-S^4+4QS^2-8PS)}{2PS}$ και κάνωντας πράξεις κα...

Έστω πολυώνυμο P(x) του οποίου το άθροισμα των συντελεστών είναι ίσο με 10 και επιπλέον $\displaystyle P(4x-2)=16P(x)+4, \forall x\in R.$ Να υπολογίσετε την τιμή του P(22). Κώστα, τώρα η άσκηση είναι ok, και λύνεται με τον ίδιο τρόπο, όπως και παραπάνω. Μπορείς κιόλας να πεις οτι το άθροισμα των συν...

Χρόνια πολλά με υγεία, σε όλα τα μέλη του που γιορτάζουν σήμερα, και ιδιαίτερα στο φίλο Γιώργο Ρίζο.

Να είστε όλοι σας καλά.
Σας ευχαριστώ πολύ για τις ευχές σας.

Λ. Ιωσηφίδης

Η παραπάνω παρατήρηση μπορεί να γενικεύσει ασκήσεις, όπως αυτήν που πρότεινε ο achilleas. "Θεωρούμε 6 άρρητους αριθμούς. Να δειχθεί ότι υπάρχουν τρεις ανάμεσα τους τέτοιοι ώστε τα ανά ζεύγη αθροίσματά τους να είναι επίσης άρρητοι αριθμοί" και να ζητήσουμε να αποδειχτεί ότι υπάρχουν 2 τριάδες αριθμών...

Αποδεικνύεται ότι σε κάθε γράφημα 6 κορυφών υπάρχουν 2 μονοχρωματικά τρίγωνα. Τα τρίγωνα αυτά δεν είναι απαραίτητο να είναι του ιδίου χρώματος.
Λ.Γ.Ιωσηφίδης

Δείτε 1 λύση της άσκησης στο συνημμένο αρχείο.
Λ.Γ.Ιωσηφίδης

Αγαπητοί συνάδελφοι, Με αφορμή το εξής σχόλιο του κ. Α.Κυριακόπουλου : «3) Γράφεις: « Ανεξάρτητα αν είναι δυνατόν ή όχι να βρούμε δύο διαφορετικές τιμές του α, πρέπει να υπάρξει αιτιολόγηση. Αυτό λέει ο Λεωνίδας». Θα μου επιτρέψεις να σου πω ότι αυτό ακριβώς είναι το λάθος του Λεωνίδα. Τι να αιτιολο...

Έχω κάποιες επιφυλάξεις ως προς τη λύση του 3Α.
Δείτε το σχετικό αρχείο.
Φιλικά
Λ.Ιωσηφίδης