Καλύτερη σταθερά

#1

Να βρείτε το μικρότερο πραγματικό αριθμό

για τον οποίο ισχύει $\displaystyle{\sqrt{ab}- \frac{2ab}{a + b} \le p \left( \frac{a + b}{2} -\sqrt{ab}\right),}$ για όλους τους θετικούς πραγματικούς αριθμούς a, b

.

#2

socrates έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 03, 2025 4:04 pm
Να βρείτε το μικρότερο πραγματικό αριθμό για τον οποίο ισχύει $\displaystyle{\sqrt{ab}- \frac{2ab}{a + b} \le p \left( \frac{a + b}{2} -\sqrt{ab}\right),}$ για όλους τους θετικούς πραγματικούς αριθμούς .

.

Μπορούμε να θέσουμε a=A^2, b=B^2

οπότε η δοθείσα γράφεται ισοδύναμα $\displaystyle{ \dfrac {AB(A-B)^2}{A^2+B^2} \le p \cdot {(A-B)^2}{2}$ .

Απλοποιώντας το (A-B)^2

το

πρέπει να ικανοποιεί $\displaystyle{ \dfrac {2AB}{A^2+B^2} \le p}$ για κάθε $A\ne B$ . Επειδή το αριστερό μέλος είναι

(άμεσο) αλλά μπορεί να πάρει τιμές οσοδήποτε κοντά στο

(το βλέπουμε αυτό π.χ. λαμβάνοντας $A=n-1, \, B=n+1$ οπότε το αριστερό μέλος γίνεται $1- \dfrac {2}{n^2+1}$ ), έπεται ότι η μικρότερη δυνατή τιμή του

είναι η $\boxed {p=1}$ .

Καλύτερη σταθερά

Καλύτερη σταθερά

Re: Καλύτερη σταθερά

Μέλη σε σύνδεση