Ελάχιστη τιμή παράστασης

Tolaso J Kos · #1

Δίδονται τα σημεία $\mathrm{A}(-1, 2)$ , $\mathrm{B}(1, -2)$ και $\Gamma(2, 3)$ . Να βρεθεί σημείο $\mathrm{M}$ επί του άξονα y'y

, ώστε η παράσταση

$\displaystyle{\mathrm{d} = \left | \overrightarrow{\mathrm{MA}} \right |^2 + \left | \overrightarrow{\mathrm{MB}} - 2 \overrightarrow{\mathrm{M} \Gamma} \right |^2}$

να παίρνει την ελάχιστη τιμή.

Nikitas K. · #2

$\overrightarrow{\mathrm{MA}}=(-1,2-c)$

$\overrightarrow{\mathrm{MB}}=(1,-2-c)$

$\overrightarrow{\mathrm{M\Gamma}}=(2,3-c)\Leftrightarrow -2\overrightarrow{\mathrm{M\Gamma}} = (-4,-6+2c)$

$\left | \overrightarrow{\mathrm{MA}} \right | = \sqrt{(-1)^2+(2-c)^2)}=\sqrt{c^2-4c+5}$

$\left | \overrightarrow{\mathrm{MB}}\right |=\sqrt{1^2+(-2-c)^2} = \sqrt{c^2+4c+5}$

$\left | -2\overrightarrow{\mathrm{M\Gamma}}\right | = \sqrt{(-4)^2+(-6+2c)^2} = \sqrt{4c^2-24c+52}$

$\overrightarrow{\mathrm{MB}}\cdot (-2\overrightarrow{\mathrm{M\Gamma}}) = \left | \overrightarrow{\mathrm{MB}}\right |\cdot\left | -2\overrightarrow{\mathrm{M\Gamma}}\right |\cdot cos\theta$

$= 1\cdot (-4) + (-2-c)(-6+2c)$

= - 2c^2+ 2c + 8

$\left | \overrightarrow{\mathrm{MB}} - 2 \overrightarrow{\mathrm{M\Gamma}} \right |= \sqrt{\left | \overrightarrow{\mathrm{MB}}\right |^2 + \left |-2 \overrightarrow{\mathrm{M\Gamma}}\right |^2 + 2\cdot \left | \overrightarrow{\mathrm{MB}}\right |\cdot \left |-2 \overrightarrow{\mathrm{M\Gamma}}\right |\cdot\cos\theta}$

$=\sqrt{\sqrt{c^2+4c+5}^2 + \sqrt{4c^2-24c+52}^2+2 \cdot (- 2c^2+ 2c + 8)}$

$= \sqrt{c^2+4c+5 + 4c^2-24c+52 - 4c^2+ 4c+16}$

$=\sqrt{c^2 - 16 c + 73}$

$d = \sqrt{c^2-4c+5}^2 + \sqrt{c^2 - 16 c + 73}^2$

= c^2-4c+5 + c^2 - 16 c + 73

$= 2 (c^2 - 2\cdot c\cdot 5 + 5^2 + 14)$

= 2 [(c-5)^2 + 14]

Επομένως,

#3

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Δευ Μάιος 13, 2024 9:38 pm
Δίδονται τα σημεία $\mathrm{A}(-1, 2)$ , $\mathrm{B}(1, -2)$ και $\Gamma(2, 3)$ . Να βρεθεί σημείο $\mathrm{M}$ επί του άξονα , ώστε η παράσταση

$\displaystyle{\mathrm{d} = \left | \overrightarrow{\mathrm{MA}} \right |^2 + \left | \overrightarrow{\mathrm{MB}} - 2 \overrightarrow{\mathrm{M} \Gamma} \right |^2}$

να παίρνει την ελάχιστη τιμή.

Αν

τότε $\displaystyle \overrightarrow {MA} = ( - 1,2 - y),\overrightarrow {MB} - 2\overrightarrow {MC} = (1, - 2 - y) - (4,6 - 2y) = ( - 3, - 8 + y)$

$\displaystyle d = 1 + {(y - 2)^2} + 9 + {(y - 8)^2} = 2({y^2} - 10y + 39) \Leftrightarrow d = 2\left( {{{(y - 5)}^2} + 14} \right) \geqslant 28$

με την ισότητα να ισχύει όταν y=5.

Άρα η παράσταση ελαχιστοποιείται όταν M(0,5).

Nikitas K. · #4

Είχα ξεχάσει ότι μπορώ να προσθέτω τόσο απλά τις αντίστοιχες συντεταγμένες των διανυσμάτων

Νόμιζα ότι τα διανύσματα έπρεπε να είναι παράλληλα, αλλά τελικά δεν χρειάζεται.

#5

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Δευ Μάιος 13, 2024 9:38 pm
Δίδονται τα σημεία $\mathrm{A}(-1, 2)$ , $\mathrm{B}(1, -2)$ και $\Gamma(2, 3)$ . Να βρεθεί σημείο $\mathrm{M}$ επί του άξονα , ώστε η παράσταση
$\displaystyle{\mathrm{d} = \left | \overrightarrow{\mathrm{MA}} \right |^2 + \left | \overrightarrow{\mathrm{MB}} - 2 \overrightarrow{\mathrm{M} \Gamma} \right |^2}$
να παίρνει την ελάχιστη τιμή.

Γεωμετρική ερμηνεία ( αλλά και …ανορθόδοξη λύση).

Για κάθε σημείο

του άξονα y'y

η παράσταση $d = {\left| {\overrightarrow {MA} } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow {MB} - 2\overrightarrow {MC} } \right|^2} = {\left| {\overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} } \right|^2} = {\left| {\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {CM} } \right|^2}$ .

: Ελάχιστη τιμή παράστασης_new_Ανάλυση.png (27.23 KiB) Προβλήθηκε 822 φορές

Αν

το μέσο του

και

το συμμετρικό του

ως προς

η παράσταση , $d = {\left| {\overrightarrow {MA} } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow {CZ} } \right|^2}\,\,\,\left( 1 \right)$ . Αλλά το

διατρέχει την ευθεία ,

.

Κι αυτό γιατί το

διατρέχει τον κατακόρυφο άξονα . Έστω $Z\left( { - 1,z} \right)$ τότε :

$\overrightarrow {ZC} = \left( {3,3 - z} \right)\,\,,\,\,\overrightarrow {AM} = \left( {1,z + 3} \right)$ και άρα $d = 1 + {\left( {z + 3} \right)^2} + 9 + {\left( {z - 3} \right)^2} = 28 + 2{z^2} \geqslant 28$ όταν z = 0

δηλαδή $Z \equiv T$

Τότε θα έχω το παρακάτω σχήμα :
.

: Ελάχιστη τιμή παράστασης_new_Κατασκευή.png (35.35 KiB) Προβλήθηκε 822 φορές

.
Θα είναι : το

σταθερό μέσο του

,

και η

εφαπτομένη του κύκλου $\left( {S,ST} \right)$ .

Για την εύρεση του

αρκεί από το σταθερό

να φέρω παράλληλη προς την

και θα κόψει τον y'y

στο

.

Ελάχιστη τιμή παράστασης

Ελάχιστη τιμή παράστασης

Re: Ελάχιστη τιμή παράστασης

Re: Ελάχιστη τιμή παράστασης

Re: Ελάχιστη τιμή παράστασης

Re: Ελάχιστη τιμή παράστασης

Μέλη σε σύνδεση