Βρείτε την υποτείνουσα

#1

: Βρείτε την υποτείνουσα.png (7.25 KiB) Προβλήθηκε 827 φορές

Το τρίγωνο ABC

του παραπάνω σχήματος είναι ορθογώνιο και ισοσκελές. Να βρείτε την υποτείνουσά του.

Henri van Aubel · #2

Έστω

η κάθετη πλευρά του ορθογώνιου ισοσκελούς, τότε:

$\displaystyle \bullet \cos \angle MAB=\frac{x^{2}-1}{2x}$

$\displaystyle \bullet \cos \angle MAC=\frac{x^{2}-3}{2x}$

Οπότε $\displaystyle \frac{\left ( x^{2}-1 \right )^{2}+\left ( x^{2}-3 \right )^{2}}{4x^{2}}=1\Leftrightarrow 2x^{4}-8x^{2}+10=4x^{2}$

Άρα έχουμε την διτετράγωνη εξίσωση $x^{4}-6x^{2}+5=0$

Συνεπώς, $x^{4}-x^{2}-5x^{2}+5=x^{2}\left ( x^{2}-1 \right )-5\left ( x^{2}-1 \right )=\left ( x^{2} -5\right )\left ( x^{2}-1 \right )=0$

$\displaystyle \bullet x=1\Rightarrow \cos \angle MAB=\frac{1^{2}-1}{2\cdot 1}=0$ άτοπο.

$\displaystyle \bullet x=\sqrt{5}\Rightarrow \cos \angle MAB=\frac{5-1}{2\sqrt{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}}$ μια χαρά.

Οπότε $x=\sqrt{5}$ κι έτσι $\boxed{BC=\sqrt{10}}$

KARKAR · #3

: Πλευρά.png (11.74 KiB) Προβλήθηκε 806 φορές

... $AB=\sqrt{5}$

#4

george visvikis έγραψε: ↑
Πέμ Ιούλ 20, 2023 10:50 am
Βρείτε την υποτείνουσα.png
Το τρίγωνο του παραπάνω σχήματος είναι ορθογώνιο και ισοσκελές. Να βρείτε την υποτείνουσά του.

Στρέφουμε το σχήμα γύρω από το

αριστερόστροφα κατά $90^\circ$ και έστω

η εικόνα του

.

Τότε $CM'=\sqrt{2}$ , AM'=1

, και το τρίγωνο M'AM

είναι ορθογώνιο ισοσκελές με υποτείνουσα $M'M=\sqrt{M'A^2+MA^2}=\sqrt{2}=MB=CM'$ και $M'\widehat{M}A=45^\circ$ .

Από το αντίστροφο του Πυθαγορείου θεωρήματος, το τρίγωνο MM'C

είναι ορθογώνιο (και ισοσκελές με $M'C=M'M=\sqrt{2}$ ), αφού

$M'C^2+M'M^2=\sqrt{2}^2+\sqrt{2}^2=4=CM^2$ .

Άρα $C\widehat{M}M'=45^\circ$ , και $CM\widehat{M}C=C\widehat{M}M'+M'\widehat{M}A=90^\circ$ .

Από το Πυθαγόρειο στα ορθογώνια τρίγωνα AMC

και

παίρνουμε $AC^2=AM^2+MC^2=1^2+\sqrt{2}^2=5$ και BC^2=2AC^2=10

.

Συνεπώς, $BC=\sqrt{10}$ .

Φιλικά,

Αχιλλέας

ksofsa · #5

Αλλιώς, χωρίς να πειράξουμε το σχήμα του κυρίου Γιώργου Βισβίκη, έχουμε:

Τα τρίγωνα AMB,BMC

όμοια ,γιατί: $\dfrac{MA}{MB}=\dfrac{MB}{MC}=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ .

Άρα, $\angle AMB=\angle BMC=180^{\circ}-\angle ABC=135^{\circ}\Rightarrow \angle AMC=90^{\circ}$ .

Από το πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο AMC

, βρίσκουμε $CA=\sqrt{5}$ .

Πάλι από πυθαγόρειο θεώρημα , βρίσκουμε $BC=\sqrt{10}$ .

#6

Σας ευχαριστώ όλους για τις λύσεις σας.

Επιτρέψτε μου όμως, να σταθώ λίγο περισσότερο στη λύση του Κώστα(ksofsa)

επειδή είναι ίδια με τη δική μου

Βρείτε την υποτείνουσα

Βρείτε την υποτείνουσα

Re: Βρείτε την υποτείνουσα

Re: Βρείτε την υποτείνουσα

Re: Βρείτε την υποτείνουσα

Re: Βρείτε την υποτείνουσα

Re: Βρείτε την υποτείνουσα

Μέλη σε σύνδεση