Ορισμένο ολοκλήρωμα

orestisgotsis · #1

ΠΕΡΙΤΤΑ

BAGGP93 · #2

Ελάχιστο ως προς ποιες μεταβλητές ?

orestisgotsis · #3

ΠΕΡΙΤΤΑ

#4

orestisgotsis έγραψε: ↑
Τετ Απρ 05, 2023 8:01 pm
Τα $p,\,\,q$ ικανοποιούν την $px+q\ge \ln x$ για $a\le x\le b$ ().

Βρείτε τις τιμές των $p,\,\,q$ για τις οποίες ελαχιστοποιείται το παρακάτω ορισμένο

ολοκλήρωμα και στη συνέχεια την ελάχιστη τιμή του: $\displaystyle\int_{a}^{b}{(px+q-\ln x)\,dx}$ .

Επειδή έγινε συζήτηση στα προηγούμενα ποστ, είναι προφανές από την εκφώνηση ότι τα μεταβλητά μεγέθη είναι τα p,q

. Άλλωστε δεν έχει νόημα να ψάχνουμε το ελάχιστο του ολοκληρώματος θεωρώντας μεταβλητά τα a,b

για τον απλούστατο λόγο ότι παίρνοντας $b\to a$ το (θετικό) ολοκλήρωμα τείνει στο

. Μάλιστα δεν λαμβάνει ποτέ την τιμή

για προφανείς λόγους.

Πίσω στην άσκηση.

Θα δούμε ότι η ελάχιστη τιμή το ολοκληρώματος λαμβάνεται από την $\boxed {p_ox+q_o= \dfrac {2x}{a+b} -1 +\ln \dfrac {a+b}{2} }$ . Πράγματι, από την $t-1\ge \ln t$ έχουμε ότι ικανοποιείται η ανισότητα $p_ox+q_o \ge \ln x$ διότι

$\dfrac {2x}{a+b} -1 +\ln \dfrac {a+b}{2} \ge \ln \dfrac {2x}{a+b} + \ln \dfrac {a+b}{2} = \ln \left ( \dfrac {2x}{a+b} \cdot \dfrac {a+b}{2} \right )= \ln x$ .

'Εστω τώρα px+q

οποιαδήποτε με $px+q \ge \ln x$ . Ειδικά για $x= \dfrac {a+b}{2}$ έπεται $p \cdot \dfrac {a+b}{2} +q \ge \ln \dfrac {a+b}{2} \,(*)$ .

Θα δείξουμε ότι η τιμή του δοθέντος ολοκληρώματος είναι μεγαλύτερη από την αντίστοιχη με p_o,q_o

στην θέση των p,q

. Πράγματι,

$\displaystyle{ \int_{a}^{b}{(px+q-\ln x)\,dx} = \int_{a}^{b}{(px+q)\,dx}- \int_{a}^{b}\ln x\,dx = \dfrac {p}{2} (b^2-a^2) + q(b-a) - \int_{a}^{b}\ln x\,dx = }$

$\displaystyle{ \left ( p \cdot \dfrac {a+b}{2}+ q \right ) (b-a) - \int_{a}^{b}\ln x\,dx \ge ^{(*)} \left ( \ln \dfrac {a+b}{2}\right ) (b-a) - \int_{a}^{b}\ln x\,dx = }$

$\displaystyle{ =\left [ \left ( \dfrac {b^2-a^2}{a+b} -(b-a) \right ) + \left ( \ln \dfrac {a+b}{2}\right ) (b-a) \right ] - \int_{a}^{b}\ln x\,dx = \int _a^b \left ( \dfrac {2x}{a+b} -1 +\ln \dfrac {a+b}{2} \right ) dx - \int_{a}^{b}\ln x\,dx = }$

$\displaystyle{ =\int_{a}^{b}{(p_ox+q_o-\ln x)\,dx} }$ , όπως θέλαμε.

Αν θέλουμε και την τιμή του ελάχιστου ολοκληρώματος, είναι άμεση από το προηγούμενο και το $\int \ln x dx = x\ln x - x+c$ .

Ορισμένο ολοκλήρωμα

Ορισμένο ολοκλήρωμα

Re: Ορισμένο ολοκλήρωμα

Re: Ορισμένο ολοκλήρωμα

Re: Ορισμένο ολοκλήρωμα

Μέλη σε σύνδεση