Ανισότητα από ανισότητα

#1

Έστω $a_1,\, a_2,\, ... \,, \, a_n$ θετικοί αριθμοί με $a_1+a_2+...+a_n \le \dfrac {1}{2}$ . Δείξτε ότι

$(1-a_1)(1-a_2)\cdot ...\cdot (1-a_n) \ge \dfrac {1}{2}$

Tolaso J Kos · #2

Να δείξουμε τη γενικότερη ;

Έστω $\{a_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ ακολουθία πραγματικών αριθμών τέτοια ώστε $0 \leq a_n \leq 1$ . Ισχύει ότι:

$\displaystyle{\prod \limits_{k=0}^{n}(1-a_k) \geq 1- \sum\limits_{k=0}^{n}a_k}$

#3

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 22, 2022 12:25 am
Να δείξουμε τη γενικότερη ;

Έστω $\{a_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ ακολουθία πραγματικών αριθμών τέτοια ώστε $0 \leq a_n \leq 1$ . Ισχύει ότι:

$\displaystyle{\prod \limits_{k=0}^{n}(1-a_k) \geq 1- \sum\limits_{k=0}^{n}a_k}$

Για

, άμεσο. Για το επαγωγικό βήμα, και επειδή έχουμε παράγοντες $\ge 0$ ,

$\displaystyle{\prod \limits_{k=0}^{n+1}(1-a_k)= \left (\prod \limits_{k=0}^{n}(1-a_k)\right ) (1-a_{n+1}) \geq \left ( 1- \sum\limits_{k=0}^{n}a_k} \right ) (1-a_{n+1})=$

$\displaystyle{= 1- \sum\limits_{k=0}^{n}a_k}- a_{n+1}+\left ( \sum\limits_{k=0}^{n}a_k} \right ) (1-a_{n+1}) \ge 1- \sum\limits_{k=0}^{n}a_k}- a_{n+1} = 1- \sum\limits_{k=0}^{n+1}a_k}}$

#4

Υπόδειξη για μη αλγεβρική λύση «μίας γραμμής». Χρησιμοποιήστε πιθανότητες.

Ανισότητα από ανισότητα

Ανισότητα από ανισότητα

Re: Ανισότητα από ανισότητα

Re: Ανισότητα από ανισότητα

Re: Ανισότητα από ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση