Μοναδική ρίζα

KARKAR · #1

Βρείτε την ελάχιστη τιμή του θετικού

, για τον οποίο η συνάρτηση :

$f(x)=e^x-\dfrac{1}{e^x}-\dfrac{x^3}{k}-2x$ , έχει μοναδική ρίζα .

* Σχεδιάστε στο ίδιο σύστημα αξόνων , τις συναρτήσεις : $g(x)=e^x-\dfrac{1}{e^x}$

και : $h(x)=\dfrac{x^3}{3}+2x$ , στο διάστημα $[-\dfrac{3}{2} , \dfrac{3}{2}]$ . Τι παρατηρείτε ;

Christos.N · #2

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#3

Μια λύση , σύντομα γραμμένη
Είναι :
$\displaystyle \begin{array}{l} f(x) = {e^x} - {e^{ - x}} - \frac{{{x^3}}}{k} - 2x\\ f'(x) = {e^x} + {e^{ - x}} - \frac{{3{x^2}}}{k} - 2\\ f''(x) = {e^x} - {e^{ - x}} - \frac{{6x}}{k}\\ {f^{(3)}}(x) = {e^x} + {e^{ - x}} - \frac{6}{k} \ge 2 - \frac{6}{k} = \frac{{2(k - 3)}}{k} \end{array}$
Αν $\displaystyle k\ge 3$ , τότε $\displaystyle {{f}^{(3)}}(x)\ge 0$ και η μονοτονία διαμορφώνεται όπως στον πίνακα

: Χωρίς τίτλο3.png (14.18 KiB) Προβλήθηκε 872 φορές

οπότε η εξίσωση έχει μια ακριβώς ρίζα
Αν όμως $\displaystyle k<3$ , τότε επειδή $\displaystyle {{f}^{(4)}}(x)={{e}^{x}}-{{e}^{-x}}=\frac{{{e}^{2x}}-1}{{{e}^{x}}}$ και $\displaystyle {{f}^{(4)}}(x)\ge 0\Leftrightarrow x\ge 0$
θα έχουμε τον επόμενο πίνακα . Σε κάθε περίπτωση οι ρίζες αιτιολογούνται με θεώρημα ενδιαμέσων τιμών στο αντίστοιχο διάστημα

: Χωρίς τίτλο2.png (50.54 KiB) Προβλήθηκε 872 φορές

απ΄όπου φαίνεται ότι η εξίσωση έχει τρεις ρίζες
Επομένως η ελάχιστη τιμή του $\displaystyle k$ είναι το $\displaystyle 3$ για να έχει μοναδική ρίζα

* Οι γραφικές παραστάσεις συμπίπτουν περίπου .
Η αιτία είναι το ανάπτυγμα Taylor όπως γράφει ο Χρήστος στην προηγούμενη ανάρτηση

Μοναδική ρίζα

Μοναδική ρίζα

Re: Μοναδική ρίζα

Re: Μοναδική ρίζα

Μέλη σε σύνδεση