Συναρτήσεις, απλή

Kercyn · #1

Έστω $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ , συνεχής και ισχύει $(f \circ f)_{(x)} = x \forall x \in \mathbb{R}$ , f(1992) = 1992

και

, να δείξετε ότι

1) $(f \circ f)\uparrow \mathbb{R}$
2)

1-1
3) $f(x) = f^{-1}(x)$

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Μέχρι 7/4, Γ' Λυκείου Μαθηματικά Κατεύθυνσης

Edit: Άλλαξα μερικά πράγματα, γιατί διαπίστωσα ότι η άσκηση ήταν ελλιπής, αν και εγώ θυμάμαι ότι την είχα βγάλει και χωρίς αυτά. Τέλος πάντων. Πρόσθεσα επίσης και ένα επιπλέον ερώτημα που θα βοηθήσει στην επίλυση του 3ου.

Pla.pa.s · #2

1) Επειδή $x\uparrow \mathbb R$ είναι $(f\circ f) \uparrow \mathbb R$
2) Είναι $f(x_{1})=f(x_{2})\Rightarrow f(f(x_{1}))=f(f(x_{2}))\Leftrightarrow x_{1}=x_{2}$ συνεπώς η

είναι

.
3) Θα δείξουμε ότι $f(\mathbb R)=\mathbb R$ .
Έστω $y\in \mathbb R$ . Τότε για u=f(y)

είναι

. Συνεπώς για κάθε $y\in\mathbb R$ υπάρχει

ώστε

κι άρα $f(\mathbb R)=\mathbb R$ και τελικά $D_{f^{-1}}=\mathbb R$ .
Οπότε έχουμε $(f\circ f)(x)=x \Rightarrow f^{-1}((f\circ f)(x))=f^{-1}(x) \Rightarrow f(x)=f^{-1}(x)$ για κάθε $x \in \mathbb R$ .

parmenides51 · #3

Για να δω εαν κατάλαβα καλά τα δεδομένα ''συνέχεια της $\displaystyle{f}$ '' και τα δυο σημεία της γραφικής παράστασης της $\displaystyle{f}$ ήταν περιττά;
Δεν βλέπω να χρησίμευσαν κάπου.

Συναρτήσεις, απλή

Συναρτήσεις, απλή

Re: Συναρτήσεις, απλή

Re: Συναρτήσεις, απλή

Μέλη σε σύνδεση