Σταθερό γινόμενο

#1

: Σταθερό γινόμενο...png (13.96 KiB) Προβλήθηκε 786 φορές

Δίνεται κύκλος διαμέτρου AB,

ένα σταθερό σημείο της

και μία μεταβλητή χορδή

που διέρχεται από το

Αν η

εφαπτομένη του κύκλου στο

τέμνει τις BC, BD

στα

να δείξετε ότι το γινόμενο $\displaystyle{AP \cdot AQ}$ είναι σταθερό.

#2

Αν $KA = a\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AB = 2R$ τότε:

$\boxed{PA \cdot QA = \frac{{4a{R^2}}}{{2R - a}}}$ .

: Σταθερό γινόμενο_Βισβίκης_1.png (43.75 KiB) Προβλήθηκε 747 φορές

Έστω

οι προβολές των B,A

και του κέντρου

στην

. Επειδή στο

τραπέζιο AZBE

το τμήμα

είναι παράλληλο στις βάσεις του θα είναι

$EM = MZ \Rightarrow \boxed{u = CE = v = DZ}$ . Εύκολα έχουμε ότι το τετράπλευρο PQDC

είναι

εγγράψιμο αφού $\widehat {BCD} = \widehat {BAD} = \widehat Q$ . Έχουμε επίσης τα παρακάτω ζεύγη ομοίων

τριγώνων :

$\left\{ \begin{gathered} \vartriangle APB \approx \vartriangle CPA \approx \vartriangle ZAD \hfill \\ \vartriangle AQB \approx \vartriangle DQA \approx \vartriangle ECB \hfill \\ \end{gathered} \right.$ και άρα : $\left\{ \begin{gathered} \frac{{PA}}{{AB}} = \frac{{CP}}{{CA}} = \frac{{AZ}}{{ZD}}\,\,(1) \hfill \\ \frac{{AQ}}{{AB}} = \frac{{DQ}}{{DA}} = \frac{{CE}}{{EB}}\,\,(2) \hfill \\ \end{gathered} \right.$ .

Πολλαπλασιάζω κατά μέλη και έχω :

$\dfrac{{AP \cdot AQ}}{{A{B^2}}} = \dfrac{{AZ}}{{EB}} \cdot \dfrac{{CE}}{{ZD}} = \dfrac{{KA}}{{KB}} \cdot 1 \Rightarrow \boxed{AP \cdot AQ = \dfrac{{AK \cdot A{B^2}}}{{KB}}}$ (σταθερή ποσότητα).

#3

Μία διαφορετική προσέγγιση...

: Σταθερό γινόμενο.β.png (16.42 KiB) Προβλήθηκε 718 φορές

$\displaystyle{\frac{{AK}}{{KB}} = \frac{{(ACD)}}{{(BCD)}} = \frac{{AC \cdot AD}}{{BC \cdot BD}} = \sqrt {\frac{{PC \cdot BC \cdot DQ \cdot BD}}{{B{C^2} \cdot B{D^2}}}} = \sqrt {\frac{{PC}}{{BC}}} \cdot \sqrt {\frac{{DQ}}{{BD}}} = \frac{{AP}}{{AB}} \cdot \frac{{AQ}}{{AB}} \Leftrightarrow }$

$\boxed{AP \cdot AQ = \frac{{AK}}{{KB}} \cdot A{B^2}}$

#4

Η άσκηση είναι από τον διαγωνισμό Austrian Polish Mathematical Competition 1992. Την έβαλα σε αυτό το φάκελο γιατί δεν μου φάνηκε τόσο δύσκολη.

Για την ιστορία, ο διαγωνισμός αυτός ξεκίνησε το 1978 και διεξαγόταν ανάμεσα στην Αυστρία και την Πολωνία που τον διοργάνωναν εναλλάξ κάθε καλοκαίρι πριν την IMO. Από το 2007 και μετά, μετονομάστηκε σε Middle European Mathematical Olympiad και λαμβάνουν μέρος πολλές άλλες κεντροευρωπαϊκές χώρες.

Σταθερό γινόμενο

Σταθερό γινόμενο

Re: Σταθερό γινόμενο

Re: Σταθερό γινόμενο

Re: Σταθερό γινόμενο

Μέλη σε σύνδεση