Ισότητα από παραλληλία

#1

: Ισότητα από παραλληλία.png (53.45 KiB) Προβλήθηκε 2222 φορές

Έστω κυρτό τετράπλευρο εγγεγραμμένο σε κύκλο $\left( O \right)$ (κέντρου ) και $E\equiv AB\cap DC\,\,\And \,\,F\equiv BC\cap AD$ . Αν είναι τα σημεία τομής της εκ του $K\equiv AC\cap BD$ παραλλήλου προς την με τις ευθείες αντίστοιχα, να δειχθεί ότι

Στάθης

Friedoon · #2

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:Ισότητα από παραλληλία.pngΈστω κυρτό τετράπλευρο εγγεγραμμένο σε κύκλο $\left( O \right)$ (κέντρου ) και $E\equiv AB\cap DC\,\,\And \,\,F\equiv BC\cap AD$ . Αν είναι τα σημεία τομής της εκ του $K\equiv AC\cap BD$ παραλλήλου προς την με τις ευθείες αντίστοιχα, να δειχθεί ότι

Στάθης

Έστω

τα σημεία τομής της

με τον κύκλο.
Η

είναι πολική του

άρα $OK\perp EF \Rightarrow OK\perp ST \Rightarrow KS=KT$ .
Από το θεώρημα της πεταλούδας όμως παίρνουμε QK=PK

(1)
Τώρα θα αποδείξουμε πως

είναι το μέσο του

.
Έστω πως $K_{\infty} \equiv EF\cap MN$ και $R\equiv EK\cap BC$
. Είναι γνωστό πως $-1=(B,C;R,F)\stackrel{Q}{=}(M,N;K,K_{\infty}) \Rightarrow MK=KN$ (2) (η δεύτερη αρμονική τετράδα προκύπτει από το μολύβι με κορυφή το

)
Άρα $(1)+(2)\Rightarrow QN=PM$

#3

Friedoon έγραψε:
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:Ισότητα από παραλληλία.pngΈστω κυρτό τετράπλευρο εγγεγραμμένο σε κύκλο $\left( O \right)$ (κέντρου ) και $E\equiv AB\cap DC\,\,\And \,\,F\equiv BC\cap AD$ . Αν είναι τα σημεία τομής της εκ του $K\equiv AC\cap BD$ παραλλήλου προς την με τις ευθείες αντίστοιχα, να δειχθεί ότι

Στάθης
Έστω τα σημεία τομής της με τον κύκλο.
Η είναι πολική του άρα $OK\perp EF \Rightarrow OK\perp ST \Rightarrow KS=KT$ .
Από το θεώρημα της πεταλούδας όμως παίρνουμε (1)
Τώρα θα αποδείξουμε πως είναι το μέσο του .
Έστω πως $K_{\infty} \equiv EF\cap MN$ και $R\equiv EK\cap BC$
. Είναι γνωστό πως $-1=(B,C;R,F)\stackrel{Q}{=}(M,N;K,K_{\infty}) \Rightarrow MK=KN$ (2) (η δεύτερη αρμονική τετράδα προκύπτει από το μολύβι με κορυφή το )
Άρα $(1)+(2)\Rightarrow QN=PM$

#4

Friedoon έγραψε:
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:Ισότητα από παραλληλία.pngΈστω κυρτό τετράπλευρο εγγεγραμμένο σε κύκλο $\left( O \right)$ (κέντρου ) και $E\equiv AB\cap DC\,\,\And \,\,F\equiv BC\cap AD$ . Αν είναι τα σημεία τομής της εκ του $K\equiv AC\cap BD$ παραλλήλου προς την με τις ευθείες αντίστοιχα, να δειχθεί ότι

Στάθης
Έστω τα σημεία τομής της με τον κύκλο.
Η είναι πολική του άρα $OK\perp EF \Rightarrow OK\perp ST \Rightarrow KS=KT$ .
Από το θεώρημα της πεταλούδας όμως παίρνουμε (1)
Τώρα θα αποδείξουμε πως είναι το μέσο του .
Έστω πως $K_{\infty} \equiv EF\cap MN$ και $R\equiv EK\cap BC$
. Είναι γνωστό πως $-1=(B,C;R,F)\stackrel{Q}{=}(M,N;K,K_{\infty}) \Rightarrow MK=KN$ (2) (η δεύτερη αρμονική τετράδα προκύπτει από το μολύβι με κορυφή το )
Άρα $(1)+(2)\Rightarrow QN=PM$

Να πω μόνο ότι η σχέση είναι επίσης μια παραλλαγή του Θεωρήματος της «Πεταλούδας» και προφανώς υπάρχει και στοιχειώδης απόδειξη με «σχολικά εργαλεία»

Στάθης

Κώστας Παππέλης · #5

Με αφορμή το τελευταίο σχόλιο του κυρίου Στάθη Κούτρα να προσθέσω πως το συμπέρασμα πράγματι είναι ακριβώς το θεώρημα της Πεταλούδας 'ξεδιπλωμένο'. Είναι απολύτως λογικό να ισχύει και για τις τομές της χορδής με τις άλλες δύο πλευρές του εγγραψίμου λόγω απλής εναλλαγής γραμμάτων. Ένα άλλο θεώρημα που ξεφεύγει οπτικά με απλή εναλλαγή γραμμάτων αλλά εξακολουθεί να ισχύει είναι πχ η ευθεία Newton Gauss. Δοκιμάστε το!

#6

Κώστας Παππέλης έγραψε:Με αφορμή το τελευταίο σχόλιο του κυρίου Στάθη Κούτρα να προσθέσω πως το συμπέρασμα πράγματι είναι ακριβώς το θεώρημα της Πεταλούδας 'ξεδιπλωμένο'. Είναι απολύτως λογικό να ισχύει και για τις τομές της χορδής με τις άλλες δύο πλευρές του εγγραψίμου λόγω απλής εναλλαγής γραμμάτων. Ένα άλλο θεώρημα που ξεφεύγει οπτικά με απλή εναλλαγή γραμμάτων αλλά εξακολουθεί να ισχύει είναι πχ η ευθεία Newton Gauss. Δοκιμάστε το!

Κώστα, να πω ότι μια φρέσκια απόδειξη (από τις πολλές που υπάρχουν) του Θεωρήματος της Πεταλούδας (που προφανώς εφαρμόζεται και στην απόδειξη του "ξεδιπλωμένου" Θεωρήματος (όπως το αναφέρεις)) βρίσκεται εδώ

Στάθης

Ισότητα από παραλληλία

Ισότητα από παραλληλία

Re: Ισότητα από παραλληλία

Re: Ισότητα από παραλληλία

Re: Ισότητα από παραλληλία

Re: Ισότητα από παραλληλία

Re: Ισότητα από παραλληλία

Μέλη σε σύνδεση