Συνεπαγωγή, ισοδυναμία ή «αρκεί»;

Στέλιος Μαρίνης · #1

Συνεπαγωγή, ισοδυναμία ή «αρκεί»;

Ο λόγος που επανέρχομαι στο θέμα είναι ότι εξελίσσεται από χρόνια από έναν κύκλο συναδέλφων μια εκστρατεία γενικά για τη σημασία της μαθηματικής λογικής , κάτι στο οποίο συμφωνώ απόλυτα για τους μαθηματικούς, αλλά όχι για το σχολείο, και ειδικότερα για τη μη χρήση της ισοδυναμίας κατά την απόδειξη μιας πρότασης όταν ξεκινάμε τη λύση από την αποδεικτέα, αλλά η χρήση του «αρκεί», πρακτική με την οποία μερικώς συμφωνώ για τα κείμενα των μαθηματικών, όχι όμως για την υποχρέωση των μαθητών να την ακολουθήσουν. Επειδή, το κύρος των συναδέλφων αυτών ανάμεσα στους μαθηματικούς είναι -δικαίως- υψηλό, φοβούμαι ότι επηρεάζοντας κάποιους να υιοθετήσουν αυτή την απαίτηση από τους μαθητές τους, θα βλάψουν, άθελά τους, μεγάλη μερίδα μαθητών φορτώνοντάς τους με μια επιπλέον υποχρέωση, καθιστώντας λιγότερο εύκολο το έργο της μύησής τους στις μαθηματικές έννοιες.
Επί της μαθηματικής ορθότητας
Η χρήση της ισοδυναμίας (εφόσον είναι αληθής) είναι απολύτως σωστή.
Πρόταση (1)Έστω οι προτάσεις p,q,r. Αν ( p $\Rightarrow$ r ) $\wedge q\Leftrightarrow r$ , τότε p $\Rightarrow$ q
Αν επομένως θέλουμε να αποδείξουμε τη συνεπαγωγή p $\Rightarrow$ q, αρκεί να αποδείξουμε ότι p $\Rightarrow$ r $\wedge$ q $\Leftrightarrow$ r
Ειδικότερα αν q $\Leftrightarrow$ r και η r είναι αληθής, τότε p $\Rightarrow$ q, άρα και πάλι αποδεικνύεται η συνεπαγωγή.
Συμπέρασμα: Δεν διδάσκουμε λάθος όταν επιτρέπουμε στους μαθητές να ξεκινούν από την αποδεικτέα με ισοδυναμίες ΑΡΚΕΙ ΝΑ ΕΙΝΑΙ ΣΩΣΤΕΣ. Αντίθετα, η χρήση της μεθόδου είναι απολύτως σύμφωνη με τους κανόνες της μαθηματικής λογικής όπως αποδείξαμε, και επομένως δεν πρόκειται για «άποψη».
Το αν αυτό τους δυσκολεύει περισσότερο ή λιγότερο από τη χρήση του «αρκεί» μπορούμε να το συζητήσουμε. Εδώ μπορούμε να αναπτύξουμε απόψεις, όπως άποψη διατυπώνουν και όσοι πιστεύουν το αντίθετο. Το ότι χρησιμοποιώντας ισοδυναμίες κάνουν μεγαλύτερο κόπο γιατί αποδεικνύουν και κάτι που δεν τους το ζητά η άσκηση ΕΙΝΑΙ κι αυτό ΑΠΟΨΗ με την οποία διαφωνώ.
Επί των απόψεων
Οι μαθητές πρέπει να μάθουν για κάθε πρόταση που εφαρμόζουν αν είναι ισοδυναμία ή απλή συνεπαγωγή. Αυτό είναι απαραίτητο, μιας και πολλά θέματα που θα αντιμετωπίσουν απαιτούν ισοδυναμίες για να λυθούν, ενώ αν στον τρόπο που θα χρησιμοποιήσουν σε ένα βήμα δεν εφαρμόζουν ισοδυναμία, οφείλουν, στα θέματα αυτά να κάνουν και την απόδειξη (ή τον έλεγχο αν πρόκειται για εξισώσεις κ.τ.λ.) του αντιστρόφου.
Η επίλυση της πλειονότητας των εξισώσεων γίνεται με ισοδυναμίες τις οποίες οι μαθητές, με πολλή εξάσκηση, μαθαίνουν και τους γίνονται οικείες. Είναι λάθος να μην τους δίνουμε την άνεση χρήσης τους(αυτών ακριβώς των ισοδυναμιών που είπαμε) και στις αποδείξεις, φορτώνοντάς τους με το άγχος του τυπικά σωστού τρόπου γραφής εκεί που δεν είναι απαραίτητο.
Εφόσον οι μαθητές έχουν μάθει ποιες από τις διδασκόμενες προτάσεις δεν ισχύουν αντίστροφα (π.χ. εφαρμογή του γενικού στο ειδικό, πρόσθεση ισοτήτων κατά μέλη κ.τ.λ.), μπορούν να εντοπίσουν πότε η ισοδυναμία που πάνε να χρησιμοποιήσουν δεν ισχύει, και τότε πρέπει να τους διδάξουμε ότι επιβάλλεται (αλλά μόνο τότε επιβάλλεται)ή η χρήση του «αρκεί» ή μια πορεία ευθείας απόδειξης με συμπέρασμα την ισοδύναμη προς την αποδεικτέα πρόταση r της Πρότασης (1) που στο πρώτο μέρος αποδείξαμε.
Επίλογος
Οι απόψεις μου δεν είναι ακατάρριπτες, γιατί είναι απόψεις και δεν τις απέδειξα μαθηματικά. Το ότι η μέθοδος απόδειξης με ισοδυναμίες είναι σωστή δεν καταρρίπτεται, εκτός αν κάπου έχω κάνει μαθηματικό λάθος που θα ήθελα να μου επισημανθεί. Τέλος, καλό είναι να διακρίνουμε όλοι την άποψη από το επιστημονικά ορθό και όχι να χρησιμοποιούμε πότε το ένα και πότε το άλλο ανάλογα με αυτό που θέλουμε να ισχυριστούμε.

Christos.N · #2

Στέλιος Μαρίνης έγραψε:Συνεπαγωγή, ισοδυναμία ή «αρκεί»;

...Επί της μαθηματικής ορθότητας
Η χρήση της ισοδυναμίας (εφόσον είναι αληθής) είναι απολύτως σωστή.
Πρόταση (1)Έστω οι προτάσεις p,q,r. Αν ( p $\Rightarrow$ r ) $\wedge$ (q $\Leftrightarrow$ r), τότε p $\Rightarrow$ q
Αν επομένως θέλουμε να αποδείξουμε τη συνεπαγωγή p $\Rightarrow$ q, αρκεί να αποδείξουμε ότι p $\Rightarrow$ r $\wedge$ q $\Leftrightarrow$ r
Ειδικότερα αν q $\Leftrightarrow$ r και η r είναι αληθής, τότε p $\Rightarrow$ q, άρα και πάλι αποδεικνύεται η συνεπαγωγή.
Συμπέρασμα: Δεν διδάσκουμε λάθος όταν επιτρέπουμε στους μαθητές να ξεκινούν από την αποδεικτέα με ισοδυναμίες ΑΡΚΕΙ ΝΑ ΕΙΝΑΙ ΣΩΣΤΕΣ......

Νομίζω ότι εκεί χρειάζεται παρένθεση, ετσι το καταλαβαίνω απο τα συμφραζόμενα.

Στέλιο ειδικά όταν έχω τάξη με αδύναμους μαθητές το καθιερώνω όσο βέβαια επιτρέπεται, και αν γίνει κατάκτηση πάμε και για άλλα, εχω την εντύπωση ότι βοηθάει στο ξεκλείδωμα της λύσης και εδώ που τα λέμε πολλές φορές εγώ ο ίδιος ξεκινώ με ισοδυναμίες για να γυρίσω στο ευθύ, μάλλον έχω μπολιαστεί με αυτή την ιδέα.

alkinoos · #3

Στέλιος Μαρίνης έγραψε:Συνεπαγωγή, ισοδυναμία ή «αρκεί»;

Ο λόγος που επανέρχομαι στο θέμα είναι ότι εξελίσσεται από χρόνια από έναν κύκλο συναδέλφων μια εκστρατεία γενικά για τη σημασία της μαθηματικής λογικής , κάτι στο οποίο συμφωνώ απόλυτα για τους μαθηματικούς, αλλά όχι για το σχολείο, και ειδικότερα για τη μη χρήση της ισοδυναμίας κατά την απόδειξη μιας πρότασης όταν ξεκινάμε τη λύση από την αποδεικτέα, αλλά η χρήση του «αρκεί», πρακτική με την οποία μερικώς συμφωνώ για τα κείμενα των μαθηματικών, όχι όμως για την υποχρέωση των μαθητών να την ακολουθήσουν. Επειδή, το κύρος των συναδέλφων αυτών ανάμεσα στους μαθηματικούς είναι -δικαίως- υψηλό, φοβούμαι ότι επηρεάζοντας κάποιους να υιοθετήσουν αυτή την απαίτηση από τους μαθητές τους, θα βλάψουν, άθελά τους, μεγάλη μερίδα μαθητών φορτώνοντάς τους με μια επιπλέον υποχρέωση, καθιστώντας λιγότερο εύκολο το έργο της μύησής τους στις μαθηματικές έννοιες.
Επί της μαθηματικής ορθότητας
Η χρήση της ισοδυναμίας (εφόσον είναι αληθής) είναι απολύτως σωστή.
Πρόταση (1)Έστω οι προτάσεις p,q,r. Αν ( p $\Rightarrow$ r ) $\wedge q\Leftrightarrow r$ , τότε p $\Rightarrow$ q
Αν επομένως θέλουμε να αποδείξουμε τη συνεπαγωγή p $\Rightarrow$ q, αρκεί να αποδείξουμε ότι p $\Rightarrow$ r $\wedge$ q $\Leftrightarrow$ r
Ειδικότερα αν q $\Leftrightarrow$ r και η r είναι αληθής, τότε p $\Rightarrow$ q, άρα και πάλι αποδεικνύεται η συνεπαγωγή.
Συμπέρασμα: Δεν διδάσκουμε λάθος όταν επιτρέπουμε στους μαθητές να ξεκινούν από την αποδεικτέα με ισοδυναμίες ΑΡΚΕΙ ΝΑ ΕΙΝΑΙ ΣΩΣΤΕΣ. Αντίθετα, η χρήση της μεθόδου είναι απολύτως σύμφωνη με τους κανόνες της μαθηματικής λογικής όπως αποδείξαμε, και επομένως δεν πρόκειται για «άποψη».
Το αν αυτό τους δυσκολεύει περισσότερο ή λιγότερο από τη χρήση του «αρκεί» μπορούμε να το συζητήσουμε. Εδώ μπορούμε να αναπτύξουμε απόψεις, όπως άποψη διατυπώνουν και όσοι πιστεύουν το αντίθετο. Το ότι χρησιμοποιώντας ισοδυναμίες κάνουν μεγαλύτερο κόπο γιατί αποδεικνύουν και κάτι που δεν τους το ζητά η άσκηση ΕΙΝΑΙ κι αυτό ΑΠΟΨΗ με την οποία διαφωνώ.
Επί των απόψεων
Οι μαθητές πρέπει να μάθουν για κάθε πρόταση που εφαρμόζουν αν είναι ισοδυναμία ή απλή συνεπαγωγή. Αυτό είναι απαραίτητο, μιας και πολλά θέματα που θα αντιμετωπίσουν απαιτούν ισοδυναμίες για να λυθούν, ενώ αν στον τρόπο που θα χρησιμοποιήσουν σε ένα βήμα δεν εφαρμόζουν ισοδυναμία, οφείλουν, στα θέματα αυτά να κάνουν και την απόδειξη (ή τον έλεγχο αν πρόκειται για εξισώσεις κ.τ.λ.) του αντιστρόφου.
Η επίλυση της πλειονότητας των εξισώσεων γίνεται με ισοδυναμίες τις οποίες οι μαθητές, με πολλή εξάσκηση, μαθαίνουν και τους γίνονται οικείες. Είναι λάθος να μην τους δίνουμε την άνεση χρήσης τους(αυτών ακριβώς των ισοδυναμιών που είπαμε) και στις αποδείξεις, φορτώνοντάς τους με το άγχος του τυπικά σωστού τρόπου γραφής εκεί που δεν είναι απαραίτητο.
Εφόσον οι μαθητές έχουν μάθει ποιες από τις διδασκόμενες προτάσεις δεν ισχύουν αντίστροφα (π.χ. εφαρμογή του γενικού στο ειδικό, πρόσθεση ισοτήτων κατά μέλη κ.τ.λ.), μπορούν να εντοπίσουν πότε η ισοδυναμία που πάνε να χρησιμοποιήσουν δεν ισχύει, και τότε πρέπει να τους διδάξουμε ότι επιβάλλεται (αλλά μόνο τότε επιβάλλεται)ή η χρήση του «αρκεί» ή μια πορεία ευθείας απόδειξης με συμπέρασμα την ισοδύναμη προς την αποδεικτέα πρόταση r της Πρότασης (1) που στο πρώτο μέρος αποδείξαμε.
Επίλογος
Οι απόψεις μου δεν είναι ακατάρριπτες, γιατί είναι απόψεις και δεν τις απέδειξα μαθηματικά. Το ότι η μέθοδος απόδειξης με ισοδυναμίες είναι σωστή δεν καταρρίπτεται, εκτός αν κάπου έχω κάνει μαθηματικό λάθος που θα ήθελα να μου επισημανθεί. Τέλος, καλό είναι να διακρίνουμε όλοι την άποψη από το επιστημονικά ορθό και όχι να χρησιμοποιούμε πότε το ένα και πότε το άλλο ανάλογα με αυτό που θέλουμε να ισχυριστούμε.

Κύριε Μαρίνη.
Με έχετε μπερδέψει. Έχω μερικές απορίες.
1) Μια ισοδυναμία $\displaystyle{A \Leftrightarrow B}$ σημαίνει: « $\displaystyle{A \Rightarrow B}$ και $\displaystyle{B \Rightarrow A}$ ». Επομένως η απόδειξη της ισοδυναμίας $\displaystyle{A \Leftrightarrow B}$ δεν έχει διπλάσια εργασία από την απόδειξη της συνεπαγωγής $\displaystyle{B \Rightarrow A}$ (Α αρκεί Β); Γιατί λοιπόν λέτε ότι, αν οι μαθητές χρησιμοποιούν τη μέθοδο του «αρκεί» φορτώνονται με μία επιπλέον υποχρέωση; Ακριβώς το αντίθετο δεν συμβαίνει; Δεν διπλασιάζεται η εργασία με τις ισοδυναμίες; Στη συνέχεια λέτε ότι αυτό είναι μια άποψη με την οποία διαφωνείτε. Δηλαδή ένα γεγονός το λέτε άποψη!!! Με την οποία μάλιστα διαφωνείτε; Ειλικρινά δεν καταλαβαίνω.
2) Στον τίτλο σας : «Συνεπαγωγή, ισοδυναμία ή αρκεί», βλέπω να κάνετε διάκριση μεταξύ της έννοιας του «αρκεί» και της έννοιας της «συνεπαγωγής»!!! Πιθανόν να μην τα έχω καταλάβει καλά εγώ.
3) Αν σε μια απόδειξη χρειάζεται να αποδείξει ο μαθητής μόνο την συνεπαγωγή $\displaystyle{B \Rightarrow A}$ και την απόδειξη και συμβεί να μην ισχύει το αντίστροφο $\displaystyle{A \Rightarrow B}$ , δηλαδή να μην ισχύει η ισοδυναμία $\displaystyle{A \Leftrightarrow B}$ , τότε δεν είναι κρίμα, όχι μόνο να μη λύσει την άσκηση, αλλά να χάσει και το χρόνο του, που είναι τόσο πολύτιμος στις εξετάσεις, επιμένοντας να αποδείξει μια συνεπαγωγή που είναι άσχετη με την απόδειξη που θέλει να κάνει; Πιστέψτε με δεν μπορώ να σας παρακολουθήσω.
4) Όπως λέτε, «αν $\displaystyle{p \Rightarrow r}$ και $\displaystyle{q \Leftrightarrow r}$ , τότε $\displaystyle{p \Rightarrow q}$ ». Η συνεπαγωγή $\displaystyle{q \Rightarrow r}$ που σας χρειάστηκε για να αποδείξετε την $\displaystyle{p \Rightarrow q}$ , αφού « αν $\displaystyle{p \Rightarrow r}$ και $\displaystyle{q \Leftarrow r}$ ,τότε $\displaystyle{p \Rightarrow q}$ »; Μήπως δεν έχω καταλάβει κάτι;
5) Στη μέθοδο του « αρκεί» δεν γράφουμε ακριβώς τις ίδιες συνεπαγωγές με εκείνες της ευθείας αποδείξεις που λέτε, γραμμένες όμως από το τέλος, γιατί δεν ξέρουμε από ποια πρόταση πρέπει να ξεκινήσουμε; Λοιπόν; Τις ίδιες συνεπαγωγές μια της δέχεστε και μια τις απορρίπτετε; Πολύ με έχετε μπερδέψει.

Με εκτίμηση.

Υ.Γ.
Κύριε Μαρίνη.
Έχω και μια απορία σχετικά με αυτά που γράφετε εδώ: viewtopic.php?f=6&t=5054&p=32233#p32233
Έχω διαβάσει με προσοχή αυτά που έχετε γράψει στο περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Γ΄ καθώς και τα μηνύματα του κ. Κυριακόπουλου.
Και πάλι σας ζητώ συγνώμη, αλλά χωρίς να θέλω να κάνω το συνήγορο του κ. Κυριακόπουλου ( που δεν νομίζω ότι το έχει ανάγκη) και επειδή έχει δηλώσει ότι δεν πρόκειται να σας απαντήσει, θα ήθελα να σας ρωτήσω σε ποια σημεία σας έχει παρεξήγηση; Ειλικρινά δεν βλέπω κανένα τέτοιο σημείο!

Στέλιος Μαρίνης · #4

alkinoos έγραψε:
Στέλιος Μαρίνης έγραψε:Συνεπαγωγή, ισοδυναμία ή «αρκεί»;

Ο λόγος που επανέρχομαι στο θέμα είναι ότι εξελίσσεται από χρόνια από έναν κύκλο συναδέλφων μια εκστρατεία γενικά για τη σημασία της μαθηματικής λογικής , κάτι στο οποίο συμφωνώ απόλυτα για τους μαθηματικούς, αλλά όχι για το σχολείο, και ειδικότερα για τη μη χρήση της ισοδυναμίας κατά την απόδειξη μιας πρότασης όταν ξεκινάμε τη λύση από την αποδεικτέα, αλλά η χρήση του «αρκεί», πρακτική με την οποία μερικώς συμφωνώ για τα κείμενα των μαθηματικών, όχι όμως για την υποχρέωση των μαθητών να την ακολουθήσουν. Επειδή, το κύρος των συναδέλφων αυτών ανάμεσα στους μαθηματικούς είναι -δικαίως- υψηλό, φοβούμαι ότι επηρεάζοντας κάποιους να υιοθετήσουν αυτή την απαίτηση από τους μαθητές τους, θα βλάψουν, άθελά τους, μεγάλη μερίδα μαθητών φορτώνοντάς τους με μια επιπλέον υποχρέωση, καθιστώντας λιγότερο εύκολο το έργο της μύησής τους στις μαθηματικές έννοιες.
Επί της μαθηματικής ορθότητας
Η χρήση της ισοδυναμίας (εφόσον είναι αληθής) είναι απολύτως σωστή.
Πρόταση (1)Έστω οι προτάσεις p,q,r. Αν ( p $\Rightarrow$ r ) $\wedge q\Leftrightarrow r$ , τότε p $\Rightarrow$ q
Αν επομένως θέλουμε να αποδείξουμε τη συνεπαγωγή p $\Rightarrow$ q, αρκεί να αποδείξουμε ότι p $\Rightarrow$ r $\wedge$ q $\Leftrightarrow$ r
Ειδικότερα αν q $\Leftrightarrow$ r και η r είναι αληθής, τότε p $\Rightarrow$ q, άρα και πάλι αποδεικνύεται η συνεπαγωγή.
Συμπέρασμα: Δεν διδάσκουμε λάθος όταν επιτρέπουμε στους μαθητές να ξεκινούν από την αποδεικτέα με ισοδυναμίες ΑΡΚΕΙ ΝΑ ΕΙΝΑΙ ΣΩΣΤΕΣ. Αντίθετα, η χρήση της μεθόδου είναι απολύτως σύμφωνη με τους κανόνες της μαθηματικής λογικής όπως αποδείξαμε, και επομένως δεν πρόκειται για «άποψη».
Το αν αυτό τους δυσκολεύει περισσότερο ή λιγότερο από τη χρήση του «αρκεί» μπορούμε να το συζητήσουμε. Εδώ μπορούμε να αναπτύξουμε απόψεις, όπως άποψη διατυπώνουν και όσοι πιστεύουν το αντίθετο. Το ότι χρησιμοποιώντας ισοδυναμίες κάνουν μεγαλύτερο κόπο γιατί αποδεικνύουν και κάτι που δεν τους το ζητά η άσκηση ΕΙΝΑΙ κι αυτό ΑΠΟΨΗ με την οποία διαφωνώ.
Επί των απόψεων
Οι μαθητές πρέπει να μάθουν για κάθε πρόταση που εφαρμόζουν αν είναι ισοδυναμία ή απλή συνεπαγωγή. Αυτό είναι απαραίτητο, μιας και πολλά θέματα που θα αντιμετωπίσουν απαιτούν ισοδυναμίες για να λυθούν, ενώ αν στον τρόπο που θα χρησιμοποιήσουν σε ένα βήμα δεν εφαρμόζουν ισοδυναμία, οφείλουν, στα θέματα αυτά να κάνουν και την απόδειξη (ή τον έλεγχο αν πρόκειται για εξισώσεις κ.τ.λ.) του αντιστρόφου.
Η επίλυση της πλειονότητας των εξισώσεων γίνεται με ισοδυναμίες τις οποίες οι μαθητές, με πολλή εξάσκηση, μαθαίνουν και τους γίνονται οικείες. Είναι λάθος να μην τους δίνουμε την άνεση χρήσης τους(αυτών ακριβώς των ισοδυναμιών που είπαμε) και στις αποδείξεις, φορτώνοντάς τους με το άγχος του τυπικά σωστού τρόπου γραφής εκεί που δεν είναι απαραίτητο.
Εφόσον οι μαθητές έχουν μάθει ποιες από τις διδασκόμενες προτάσεις δεν ισχύουν αντίστροφα (π.χ. εφαρμογή του γενικού στο ειδικό, πρόσθεση ισοτήτων κατά μέλη κ.τ.λ.), μπορούν να εντοπίσουν πότε η ισοδυναμία που πάνε να χρησιμοποιήσουν δεν ισχύει, και τότε πρέπει να τους διδάξουμε ότι επιβάλλεται (αλλά μόνο τότε επιβάλλεται)ή η χρήση του «αρκεί» ή μια πορεία ευθείας απόδειξης με συμπέρασμα την ισοδύναμη προς την αποδεικτέα πρόταση r της Πρότασης (1) που στο πρώτο μέρος αποδείξαμε.
Επίλογος
Οι απόψεις μου δεν είναι ακατάρριπτες, γιατί είναι απόψεις και δεν τις απέδειξα μαθηματικά. Το ότι η μέθοδος απόδειξης με ισοδυναμίες είναι σωστή δεν καταρρίπτεται, εκτός αν κάπου έχω κάνει μαθηματικό λάθος που θα ήθελα να μου επισημανθεί. Τέλος, καλό είναι να διακρίνουμε όλοι την άποψη από το επιστημονικά ορθό και όχι να χρησιμοποιούμε πότε το ένα και πότε το άλλο ανάλογα με αυτό που θέλουμε να ισχυριστούμε.
Κύριε Μαρίνη.
Με έχετε μπερδέψει. Έχω μερικές απορίες.
1) Μια ισοδυναμία $\displaystyle{A \Leftrightarrow B}$ σημαίνει: « $\displaystyle{A \Rightarrow B}$ και $\displaystyle{B \Rightarrow A}$ ». Επομένως η απόδειξη της ισοδυναμίας $\displaystyle{A \Leftrightarrow B}$ δεν έχει διπλάσια εργασία από την απόδειξη της συνεπαγωγής $\displaystyle{B \Rightarrow A}$ (Α αρκεί Β); Γιατί λοιπόν λέτε ότι, αν οι μαθητές χρησιμοποιούν τη μέθοδο του «αρκεί» φορτώνονται με μία επιπλέον υποχρέωση; Ακριβώς το αντίθετο δεν συμβαίνει; Δεν διπλασιάζεται η εργασία με τις ισοδυναμίες; Στη συνέχεια λέτε ότι αυτό είναι μια άποψη με την οποία διαφωνείτε. Δηλαδή ένα γεγονός το λέτε άποψη!!! Με την οποία μάλιστα διαφωνείτε; Ειλικρινά δεν καταλαβαίνω.
2) Στον τίτλο σας : «Συνεπαγωγή, ισοδυναμία ή αρκεί», βλέπω να κάνετε διάκριση μεταξύ της έννοιας του «αρκεί» και της ενιαίας της «συνεπαγωγής»!!! Πιθανόν να μην τα έχω καταλάβει καλά εγώ.
3) Αν σε μια απόδειξη χρειάζεται να αποδείξει ο μαθητής μόνο την συνεπαγωγή $\displaystyle{B \Rightarrow A}$ και την απόδειξη και συμβεί να μην ισχύει το αντίστροφο $\displaystyle{A \Rightarrow B}$ , δηλαδή να μην ισχύει η ισοδυναμία $\displaystyle{A \Leftrightarrow B}$ , τότε δεν είναι κρίμα, όχι μόνο να μη λύσει την άσκηση, αλλά να χάσει και το χρόνο του, που είναι τόσο πολύτιμος στις εξετάσεις, επιμένοντας να αποδείξει μια συνεπαγωγή που είναι άσχετη με την απόδειξη που θέλει να κάνει; Πιστέψτε με δεν μπορώ να σας παρακολουθήσω.
4) Όπως λέτε, «αν $\displaystyle{p \Rightarrow r}$ και $\displaystyle{q \Leftrightarrow r}$ , τότε $\displaystyle{p \Rightarrow q}$ ». Η συνεπαγωγή $\displaystyle{q \Rightarrow r}$ που σας χρειάστηκε για να αποδείξετε την $\displaystyle{p \Rightarrow q}$ , αφού « αν $\displaystyle{p \Rightarrow r}$ και $\displaystyle{q \Leftarrow r}$ ,τότε $\displaystyle{p \Rightarrow q}$ »; Μήπως δεν έχω καταλάβει κάτι;
5) Στη μέθοδο του « αρκεί» δεν γράφουμε ακριβώς τις ίδιες συνεπαγωγές με εκείνες της ευθείας αποδείξεις που λέτε, γραμμένες όμως από το τέλος, γιατί δεν ξέρουμε από ποια πρόταση πρέπει να ξεκινήσουμε; Λοιπόν; Τις ίδιες συνεπαγωγές μια της δέχεστε και μια τις απορρίπτετε; Πολύ με έχετε μπερδέψει.

Με εκτίμηση.

Υ.Γ.
Κύριε Μαρίνη.
Έχω και μια απορία σχετικά με αυτά που γράφετε εδώ: viewtopic.php?f=6&t=5054&p=32233#p32233
Έχω διαβάσει με προσοχή αυτά που έχετε γράψει στο περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Γ΄ καθώς και τα μηνύματα του κ. Κυριακόπουλου.
Και πάλι σας ζητώ συγνώμη, αλλά χωρίς να θέλω να κάνω το συνήγορο του κ. Κυριακόπουλου ( που δεν νομίζω ότι το έχει ανάγκη) και επειδή έχει δηλώσει ότι δεν πρόκειται να σας απαντήσει, θα ήθελα να σας ρωτήσω σε ποια σημεία σας έχει παρεξήγηση; Ειλικρινά δεν βλέπω κανένα τέτοιο σημείο!

Σχετικά με τον τίτλο, οι τίτλοι είναι αφαιρετικοί, και ίσως να μην ανταποκρίνεται απόλυτα στο κείμενο. Όσο για το "αρκεί" και τη συνεπαγωγή δεν νομίζω να υπάρχει κανείς που να μην κατάλαβε ότι αναφέρομαι στην επιμονή να απαιτείται η χρήση του "αρκεί" (δηλ. της αντίστροφης συνεπαγωγής) όταν ξεκινάμε από την αποδεικτέα. Εφόσον, όπως λέτε, διαβάσατε προσεκτικά το κείμενο, μιλώ για χρήση της ισοδυναμίας΄στις περιπτώσεις που, χωρίς να χρειαστεί να σκεφθούμε ιδιαίτερα, ισχύουν. Ο παραπάνω κόπος να βάλω ισοδυναμία όταν πολλαπλασιάζω τα μέλη μιας ισότητας με τον ίδιο μη μηδενικό αριθμό, ποιος είναι; το βελάκι που κοιτάει αριστερά; Δεν ξέρω, ίσως δεν μιλώ τόσο καλά ελληνικά για να γίνω κατανοητός, αλλά πουθενά δεν είπα ότι όταν ξεκινούμε από την αποδεικτέα για να αποδείξουμε μια συνεπαγωγή απαιτείται η χρήση ισοδυναμιών. Είπα ότι επιτρέπεται όταν είναι σωστές. Τέλος, όσο αφορά το σχόλιο 4 ρωτώ με τη σειρά μου: Είναι σωστή ή λαθος η πρόταση (1) που παραθέτω. Το ότι ισχύει και με ασθενέστερες υποθέσεις την κάνει ψευδή; Επειδή στο κομμάτι αυτό δεν τίθεται θέμα απόψεως, αλλά μπορεί να κριθεί μόνο μαθηματικά, πείτε μου αν είναι λάθος. Μήπως είναι λάθος το θεώρημα της Γεωμετρίας ότι δύο τρίγωνα που έχουν τις γωνίες τους ίσες μία προς μία είναι όμοια, επειδή αρκούν οι δύο απ΄ αυτές;
Τέλος, επειδή ΧΑΡΗ ΣΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ ΑΝΤΩΝΗ ΚΥΡΙΑΚΟΠΟΥΛΟΥ ασχολήθηκα με τη μαθηματική λογική από πολύ παλιά, και στην περίοδο κυρίως που και τα σχολικά βιβλία απαιτούσαν μεγαλύτερη αυστηρότητα έκανα διάφορες διδακτικές δοκιμές, και δοκίμασα στο συγκεκριμένο τη διδασκαλία και με τον ένα αποκλειστικά(αρκεί...), και με τον άλλον εναλλακτικά(άλλοτε ισοδυναμίες, άλλοτε αρκεί) τρόπο, διαπίστωσα ότι η πλειονότητα των μαθητών μου δυσκολεύονταν με τον πρώτο, γι' αυτό προτιμούσαν να τον χρησμιοποιούν μόνο όταν απαιτούνταν ενέργεια που, όπως είχαν διδαχθεί, δεν είναι ισοδυναμία. Το να κάνουν, σε μια δύσκολη άσκηση, κινήσεις ρουτίνας, σαν κι αυτές των βημάτων επίλυσης εξίσωσης, τους χαλάρωνε. Έτσι κατέληξα στην ΑΠΟΨΗ που είπα. Από τη μεριά μου ούτε έκρινα αρνητικά ποτέ όποιους διδάσκουν έτσι ή όποιους διδάσκουν αλλιώς, εφόσον δεν κάνουν μαθηματικό λάθος. Γι' αυτό και κάθε διαφωνία σε ό,τι αφορά αυτό είναι από μεριάς μου απολύτως σεβαστή.
Όσο για την ανταλλάγη μηνυμάτων μου με τον κ. Κυριακόπουλο, καλώς είπατε ότι δεν χρειάζεται συνήγορο. Αν εσείς δεν επηρεαστήκατε από την απάντησή του και καταλάβατε ότι μόνο σε σχέση με τη διδασκαλία στους μαθητές εγώ έχω αντίρρηση, τότε η διευκρίνιση που έκανα δεν αφορά εσάς.
Ευχαριστώ.

alkinoos · #5

Στέλιος Μαρίνης έγραψε: Σχετικά με τον τίτλο, οι τίτλοι είναι αφαιρετικοί, και ίσως να μην ανταποκρίνεται απόλυτα στο κείμενο. Όσο για το "αρκεί" και τη συνεπαγωγή δεν νομίζω να υπάρχει κανείς που να μην κατάλαβε ότι αναφέρομαι στην επιμονή να απαιτείται η χρήση του "αρκεί" (δηλ. της αντίστροφης συνεπαγωγής) όταν ξεκινάμε από την αποδεικτέα. Εφόσον, όπως λέτε, διαβάσατε προσεκτικά το κείμενο, μιλώ για χρήση της ισοδυναμίας΄στις περιπτώσεις που, χωρίς να χρειαστεί να σκεφθούμε ιδιαίτερα, ισχύουν. Ο παραπάνω κόπος να βάλω ισοδυναμία όταν πολλαπλασιάζω τα μέλη μιας ισότητας με τον ίδιο μη μηδενικό αριθμό, ποιος είναι; το βελάκι που κοιτάει αριστερά; Δεν ξέρω, ίσως δεν μιλώ τόσο καλά ελληνικά για να γίνω κατανοητός, αλλά πουθενά δεν είπα ότι όταν ξεκινούμε από την αποδεικτέα για να αποδείξουμε μια συνεπαγωγή απαιτείται η χρήση ισοδυναμιών. Είπα ότι επιτρέπεται όταν είναι σωστές. Τέλος, όσο αφορά το σχόλιο 4 ρωτώ με τη σειρά μου: Είναι σωστή ή λαθος η πρόταση (1) που παραθέτω. Το ότι ισχύει και με ασθενέστερες υποθέσεις την κάνει ψευδή; Επειδή στο κομμάτι αυτό δεν τίθεται θέμα απόψεως, αλλά μπορεί να κριθεί μόνο μαθηματικά, πείτε μου αν είναι λάθος. Μήπως είναι λάθος το θεώρημα της Γεωμετρίας ότι δύο τρίγωνα που έχουν τις γωνίες τους ίσες μία προς μία είναι όμοια, επειδή αρκούν οι δύο απ΄ αυτές;
Τέλος, επειδή ΧΑΡΗ ΣΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ ΑΝΤΩΝΗ ΚΥΡΙΑΚΟΠΟΥΛΟΥ ασχολήθηκα με τη μαθηματική λογική από πολύ παλιά, και στην περίοδο κυρίως που και τα σχολικά βιβλία απαιτούσαν μεγαλύτερη αυστηρότητα έκανα διάφορες διδακτικές δοκιμές, και δοκίμασα στο συγκεκριμένο τη διδασκαλία και με τον ένα αποκλειστικά(αρκεί...), και με τον άλλον εναλλακτικά(άλλοτε ισοδυναμίες, άλλοτε αρκεί) τρόπο, διαπίστωσα ότι η πλειονότητα των μαθητών μου δυσκολεύονταν με τον πρώτο, γι' αυτό προτιμούσαν να τον χρησμιοποιούν μόνο όταν απαιτούνταν ενέργεια που, όπως είχαν διδαχθεί, δεν είναι ισοδυναμία. Το να κάνουν, σε μια δύσκολη άσκηση, κινήσεις ρουτίνας, σαν κι αυτές των βημάτων επίλυσης εξίσωσης, τους χαλάρωνε. Έτσι κατέληξα στην ΑΠΟΨΗ που είπα. Από τη μεριά μου ούτε έκρινα αρνητικά ποτέ όποιους διδάσκουν έτσι ή όποιους διδάσκουν αλλιώς, εφόσον δεν κάνουν μαθηματικό λάθος. Γι' αυτό και κάθε διαφωνία σε ό,τι αφορά αυτό είναι από μεριάς μου απολύτως σεβαστή.
Όσο για την ανταλλάγη μηνυμάτων μου με τον κ. Κυριακόπουλο, καλώς είπατε ότι δεν χρειάζεται συνήγορο. Αν εσείς δεν επηρεαστήκατε από την απάντησή του και καταλάβατε ότι μόνο σε σχέση με τη διδασκαλία στους μαθητές εγώ έχω αντίρρηση, τότε η διευκρίνιση που έκανα δεν αφορά εσάς.
Ευχαριστώ.

Κύριε Μαρίνη.
Σας ευχαριστώ για την απάντηση. Για να καταλάβω καλύτερα αυτά που λέτε, θέλω να σας ρωτήσω το εξής:
« Είναι σωστό σε μια απόδειξη που κάνει ένας μαθητής να γράφει διάφορες προτάσεις που είναι μεν αληθείς, αλλά που δεν έχουν καμία σχέση με την απόδειξη που θέλει να κάνει;»
Σας παρακαλώ μη μου πείτε, εξαρτάται και ότι άλλοτε είναι σωστό και άλλοτε όχι, γιατί θα απογοητευτώ και η κουβέντα μας θα σταματήσει εδώ. Δεδομένου ότι τέτοιες απαντήσεις δεν ταιριάζουν στα μαθηματικά. Στα μαθηματικά αν κάτι είναι σωστό μπορούμε να το κάνουμε πάντοτε και αν όχι δεν μπορούμε να το κάνουμε ποτέ.
Σας ευχαριστώ.
Με εκτίμηση.

Στέλιος Μαρίνης · #6

alkinoos έγραψε:
Στέλιος Μαρίνης έγραψε: Σχετικά με τον τίτλο, οι τίτλοι είναι αφαιρετικοί, και ίσως να μην ανταποκρίνεται απόλυτα στο κείμενο. Όσο για το "αρκεί" και τη συνεπαγωγή δεν νομίζω να υπάρχει κανείς που να μην κατάλαβε ότι αναφέρομαι στην επιμονή να απαιτείται η χρήση του "αρκεί" (δηλ. της αντίστροφης συνεπαγωγής) όταν ξεκινάμε από την αποδεικτέα. Εφόσον, όπως λέτε, διαβάσατε προσεκτικά το κείμενο, μιλώ για χρήση της ισοδυναμίας΄στις περιπτώσεις που, χωρίς να χρειαστεί να σκεφθούμε ιδιαίτερα, ισχύουν. Ο παραπάνω κόπος να βάλω ισοδυναμία όταν πολλαπλασιάζω τα μέλη μιας ισότητας με τον ίδιο μη μηδενικό αριθμό, ποιος είναι; το βελάκι που κοιτάει αριστερά; Δεν ξέρω, ίσως δεν μιλώ τόσο καλά ελληνικά για να γίνω κατανοητός, αλλά πουθενά δεν είπα ότι όταν ξεκινούμε από την αποδεικτέα για να αποδείξουμε μια συνεπαγωγή απαιτείται η χρήση ισοδυναμιών. Είπα ότι επιτρέπεται όταν είναι σωστές. Τέλος, όσο αφορά το σχόλιο 4 ρωτώ με τη σειρά μου: Είναι σωστή ή λαθος η πρόταση (1) που παραθέτω. Το ότι ισχύει και με ασθενέστερες υποθέσεις την κάνει ψευδή; Επειδή στο κομμάτι αυτό δεν τίθεται θέμα απόψεως, αλλά μπορεί να κριθεί μόνο μαθηματικά, πείτε μου αν είναι λάθος. Μήπως είναι λάθος το θεώρημα της Γεωμετρίας ότι δύο τρίγωνα που έχουν τις γωνίες τους ίσες μία προς μία είναι όμοια, επειδή αρκούν οι δύο απ΄ αυτές;
Τέλος, επειδή ΧΑΡΗ ΣΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ ΑΝΤΩΝΗ ΚΥΡΙΑΚΟΠΟΥΛΟΥ ασχολήθηκα με τη μαθηματική λογική από πολύ παλιά, και στην περίοδο κυρίως που και τα σχολικά βιβλία απαιτούσαν μεγαλύτερη αυστηρότητα έκανα διάφορες διδακτικές δοκιμές, και δοκίμασα στο συγκεκριμένο τη διδασκαλία και με τον ένα αποκλειστικά(αρκεί...), και με τον άλλον εναλλακτικά(άλλοτε ισοδυναμίες, άλλοτε αρκεί) τρόπο, διαπίστωσα ότι η πλειονότητα των μαθητών μου δυσκολεύονταν με τον πρώτο, γι' αυτό προτιμούσαν να τον χρησμιοποιούν μόνο όταν απαιτούνταν ενέργεια που, όπως είχαν διδαχθεί, δεν είναι ισοδυναμία. Το να κάνουν, σε μια δύσκολη άσκηση, κινήσεις ρουτίνας, σαν κι αυτές των βημάτων επίλυσης εξίσωσης, τους χαλάρωνε. Έτσι κατέληξα στην ΑΠΟΨΗ που είπα. Από τη μεριά μου ούτε έκρινα αρνητικά ποτέ όποιους διδάσκουν έτσι ή όποιους διδάσκουν αλλιώς, εφόσον δεν κάνουν μαθηματικό λάθος. Γι' αυτό και κάθε διαφωνία σε ό,τι αφορά αυτό είναι από μεριάς μου απολύτως σεβαστή.
Όσο για την ανταλλάγη μηνυμάτων μου με τον κ. Κυριακόπουλο, καλώς είπατε ότι δεν χρειάζεται συνήγορο. Αν εσείς δεν επηρεαστήκατε από την απάντησή του και καταλάβατε ότι μόνο σε σχέση με τη διδασκαλία στους μαθητές εγώ έχω αντίρρηση, τότε η διευκρίνιση που έκανα δεν αφορά εσάς.
Ευχαριστώ.
Κύριε Μαρίνη.
Σας ευχαριστώ για την απάντηση. Για να καταλάβω καλύτερα αυτά που λέτε, θέλω να σας ρωτήσω το εξής:
« Είναι σωστό σε μια απόδειξη που κάνει ένας μαθητής να γράφει διάφορες προτάσεις που είναι μεν αληθείς, αλλά που δεν έχουν καμία σχέση με την απόδειξη που θέλει να κάνει;»
Σας παρακαλώ μη μου πείτε, εξαρτάται και ότι άλλοτε είναι σωστό και άλλοτε όχι, γιατί θα απογοητευτώ και η κουβέντα μας θα σταματήσει εδώ. Δεδομένου ότι τέτοιες απαντήσεις δεν ταιριάζουν στα μαθηματικά. Στα μαθηματικά αν κάτι είναι σωστό μπορούμε να το κάνουμε πάντοτε και αν όχι δεν μπορούμε να το κάνουμε ποτέ.
Σας ευχαριστώ.
Με εκτίμηση.

Αν δεν έχουν καμία σχέση, όχι. Θα δώσω ένα παράδειγμα όμως για κάτι που αν και περιττό, δεν θα μπορούσα να το βαθμολγήσω αρνητικά. Αν έλυνε εξίσωση της μορφής $\sqrt{f(x)}=g(x)$ και έπαιρνε και τον περιορισμό για την υπόρριζη ποσότητα, έστω κι αν η εξίσωση είναι ισοδύναμη με την $(f(x)=g^{2}(x))\wedge (g(x)\geq 0)$ θα θεωρούσα τη λύση σωστή. Κάποιος συνάδελφος είχε κόψει μονάδες από μαθητή επειδή σε κλασματική γνήσια ανισότητα με παρονομαστή μη αρνητικό, έβαλε περιορισμό να είναι διάφορος του μηδενός. Ήταν περιττό, αλλά εγώ δεν θα έκοβα μονάδες γι' αυτό. Επίσης θα θεωρούσα σωστή λύση την εύρεση του Π.Ο. μιας συνάρτησης με παρονομαστή ημχ της οποίας ζητούμε το όριο στο 0, έστω κι αν είναι αρκετό να παρατηρήσει ότι έχει νόημα η αναζήτηση του ορίου με παράδειγμα κατάλληλης ένωσης διαστημάτων. Είναι πάρα πολλές οι περιπτώσεις που και καλοί μαθηματικοί χρησιμοποιούν κάτι στη λύση, το οποίο κάποιος άλλος μπορεί να μην το χρειαστεί, να κάνουν δηλαδή κάτι περιττό που, όμως, δεν είναι άσχετο με την άσκηση. Από την άλλη, όμως, ο άλλος βρήκε τρόπο στον οποίο αυτό είναι άσχετο! Η συγκεκριμένη εργασία με απόδειξη με χρήση ισοδυναμιών είναι περιττή, αλλά κατά τη γνώμη μου όχι άσχετη στις περιπτώσεις που ανέφερα.
ΥΓ. Δεν βρίσκω κομψή την "προειδοποίηση" ότι αν απαντήσω έτσι δε θα μου ξαναπαντήσετε. ΑΝ εγώ κρίνω ότι δεν μπορώ να συνενοηθώ με κάποιον δεν το διαφημίζω, αλλά απλώς δεν απαντώ. Δεν συμφωνείτε;

alkinoos · #7

Στέλιος Μαρίνης έγραψε: ΥΓ. Δεν βρίσκω κομψή την "προειδοποίηση" ότι αν απαντήσω έτσι δε θα μου ξαναπαντήσετε. ΑΝ εγώ κρίνω ότι δεν μπορώ να συνενοηθώ με κάποιον δεν το διαφημίζω, αλλά απλώς δεν απαντώ. Δεν συμφωνείτε;

Κύριε Μαρίνη.
Με παρεξηγήσατε. Δεν ήταν προειδοποίηση. Αν δεν σας απαντούσα δεν θα μπορούσε να σημαίνει ότι συμφωνώ;
Τέλος πάντων. Εγώ τα μαθηματικά τα έχω διαφορετικά στο μυαλό μου και πιστεύω ότι είναι πιο «πειθαρχημένα», πιο «απλά» και επομένως πιο εύκολα. Έχω κάνει και εγώ δοκιμές στην τάξη. Οι μαθητές τα μαθαίνουν όπως τους τα πει ο καθηγητής. Αν τους πει ότι σε μια απόδειξη δεν είναι σωστό να γράφουμε περιττές προτάσεις, θα το ακολουθήσουν και δεν είναι θέμα ευκολίας ή δυσκολίας, όπως γράφετε, αλλά πώς θα τους τα πει ο καθηγητής. Μάλιστα δε το καταλαβαίνουν τόσο πολύ καλά που όχι μόνον το εφαρμόζουν, αλλά πολλές φορές μου λένε: « Κύριε γιατί το σχολικό βιβλίο όταν κάνει μια απόδειξη και ξεκινάει από τη σχέση που θέλει να αποδείξει, βάζει ισοδυναμίες;». Θυμάμαι μια φορά που ένας μαθητής μου είπε: «Κύριε να σας πω κάτι να γελάσετε! Στο βιβλίο του….. είδα σε μια απόδειξη, άλλοτε να γράφει ισοδυναμίες και άλλοτε συνεπαγωγές…..». Οι μαθητές είναι πολύ πιο έξυπνοι από ό,τι νομίζουμε.
Δεν συμφωνώ με αυτά που γράφετε και επομένως σταματάμε εδώ την κουβέντα μας.
Με εκτίμηση.

Στέλιος Μαρίνης · #8

alkinoos έγραψε:
Στέλιος Μαρίνης έγραψε: ΥΓ. Δεν βρίσκω κομψή την "προειδοποίηση" ότι αν απαντήσω έτσι δε θα μου ξαναπαντήσετε. ΑΝ εγώ κρίνω ότι δεν μπορώ να συνενοηθώ με κάποιον δεν το διαφημίζω, αλλά απλώς δεν απαντώ. Δεν συμφωνείτε;
Κύριε Μαρίνη.
Με παρεξηγήσατε. Δεν ήταν προειδοποίηση. Αν δεν σας απαντούσα δεν θα μπορούσε να σημαίνει ότι συμφωνώ;
Τέλος πάντων. Εγώ τα μαθηματικά τα έχω διαφορετικά στο μυαλό μου και πιστεύω ότι είναι πιο «πειθαρχημένα», πιο «απλά» και επομένως πιο εύκολα. Έχω κάνει και εγώ δοκιμές στην τάξη. Οι μαθητές τα μαθαίνουν όπως τους τα πει ο καθηγητής. Αν τους πει ότι σε μια απόδειξη δεν είναι σωστό να γράφουμε περιττές προτάσεις, θα το ακολουθήσουν και δεν είναι θέμα ευκολίας ή δυσκολίας, όπως γράφετε, αλλά πώς θα τους τα πει ο καθηγητής. Μάλιστα δε το καταλαβαίνουν τόσο πολύ καλά που όχι μόνον το εφαρμόζουν, αλλά πολλές φορές μου λένε: « Κύριε γιατί το σχολικό βιβλίο όταν κάνει μια απόδειξη και ξεκινάει από τη σχέση που θέλει να αποδείξει, βάζει ισοδυναμίες;». Θυμάμαι μια φορά που ένας μαθητής μου είπε: «Κύριε να σας πω κάτι να γελάσετε! Στο βιβλίο του….. είδα σε μια απόδειξη, άλλοτε να γράφει ισοδυναμίες και άλλοτε συνεπαγωγές…..». Οι μαθητές είναι πολύ πιο έξυπνοι από ό,τι νομίζουμε.
Δεν συμφωνώ με αυτά που γράφετε και επομένως σταματάμε εδώ την κουβέντα μας.
Με εκτίμηση.

Πάντα έχουμε κάτι να πούμε. Εγώ για παράδειγμα θα πω ευχαριστώ για τη συμμετοχή σας στο θέμα μου. Όσο για τους μαθητές σας, είμαι σίγουρος ότι είναι τυχεροί που σας έχουν καθηγητή.

Συνεπαγωγή, ισοδυναμία ή «αρκεί»;

Συνεπαγωγή, ισοδυναμία ή «αρκεί»;

Re: Συνεπαγωγή, ισοδυναμία ή «αρκεί»;

Re: Συνεπαγωγή, ισοδυναμία ή «αρκεί»;

Re: Συνεπαγωγή, ισοδυναμία ή «αρκεί»;

Re: Συνεπαγωγή, ισοδυναμία ή «αρκεί»;

Re: Συνεπαγωγή, ισοδυναμία ή «αρκεί»;

Re: Συνεπαγωγή, ισοδυναμία ή «αρκεί»;

Re: Συνεπαγωγή, ισοδυναμία ή «αρκεί»;

Μέλη σε σύνδεση