Διττή ύπαρξη

#1

Αν f πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το [α,b] και θετική δεύτερη παράγωγο στο [α,b] τότε να δείξετε πως

για κάθε ξ στο [α,b]

υπάρχει xo στο [α,b] ώστε:

$\displaystyle{ f'(\xi ) = \frac{{f(\alpha ) - f(x_0 )}}{{a - x_0 }} }$

ή

$\displaystyle{ f'(\xi ) = \frac{{f(b) - f(x_0 )}}{{b - x_0 }} }$

#2

Θαρρώ πως στην εκφώνηση πρέπει να είναι $\displaystyle{\xi\in(a,b)}$ , αντί για $\displaystyle{\xi\in[a,b]\qquad\boxed{*}}$

Παίρνω αυτό που είπα σαν δεδομένο

Θεωρούμε τη συνάρτηση $\displaystyle{g(x):=\begin{cases}\left(f{'}(\xi)-\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\right)\left(f{'}(\xi)-\frac{f(b)-f(x)}{b-x}\right) & x\in(a,b) \\ \\ \left(f{'}(\xi)-f{'}(a)\right)\left(f{'}(\xi)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\right) & x=a \\ \\ \left(f{'}(\xi)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\right)\left(f{'}(\xi)-f{'}(b)\right) & x=b\end{cases}}$ η οποία είναι συνεχής στο [a,b]

και

$\displaystyle{g(a)g(b)=\left(f{'}(\xi)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\right)^2(f{'}(\xi)-f{'}(a))(f{'}(\xi)-f{'}(b))\leq0}$ , λόγω του ότι είναι $\displaystyle{a<\xi< b}$ και η f{'}

είναι γνησίως αύξουσα.

Αν $\displaystyle{g(a)g(b)<0}$ , από Bolzano τελειώσαμε.

Αν $\displaystyle{g(a)g(b)=0}$ , τότε $\displaystyle{f{'}(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}}$ οπότε πάλι τελειώσαμε

$\displaystyle{\boxed{*}}$ Δικαιολόγηση. Ας υποθέσουμε ότι $\displaystyle{\xi=a}$ . Τότε ζητάμε να δείξουμε ότι

είτε $\displaystyle{f{'}(a)=\frac{f(x_{0})-f(a)}{x_{0}-a}}$ για κάποιο $\displaystyle{x_{0}\in(a,b]}$ , ή

$\displaystyle{f{'}(a)=\frac{f(b)-f(x_{0})}{b-x_{0}}}$ για κάποιο $\displaystyle{x_{0}\in[a,b)}$ .

Όμως στην πρώτη περίπτωση, επειδή $\displaystyle{\frac{f(x_{0})-f(a)}{x_{0}-a}=f{'}(\zeta)}$ για κάποιο $\displaystyle{a<\zeta<x_{0}}$ και η f{'}

είναι

, θα έχουμε $\displaystyle{a=\zeta}$ , άτοπο, ενώ

ομοίως στη δεύτερη, επειδή $\displaystyle{\frac{f(b)-f(x_{0})}{b-x_{0}}=f{'}(\zeta)}$ για κάποιο $\displaystyle{x_{0}<\zeta<b}$ και η f{'}

είναι

, θα έχουμε $\displaystyle{a=\zeta}$ , πάλι άτοπο.

Πιστεύω να μην κάνω λάθος..

#3

Νομίζω ότι υπάρχει και μια απλή γεωμετρική λύση

1) αφού f κυρτή στο [a,b] υπάρχει μοναδικό c στο [a,b]:η κλιση της εφαπτομένης f'(c),να ισούται με την κλίση της χορδής ΑΒ (ΘMT)
2)Έστω b>ξ>c τότε η f'(ξ) μεταβάλλεται και παίρνει όλες τιμές μεταξύ f'(c), f'(b) (Darboux)
3)Αν x<c η χορδή ΒΧ έχει κλίση <της κλισης της χορδής ΒC (και> της χορδής ΒΑ)
4)Αρα f'(c)=λ(ΑΒ)<λ(ΒΧ)<λ(BC)<f'(b)
5)Λόγω των 2) , 4) υπάρχει χορδή ΑΧο με κλίση f'(ξ)
6)Αντίστοιχα όταν ξ<c
δηλαδή $\displaystyle{\forall \xi \in (a,b) \exists x_0 \in (a,b) : f'(\xi)=\frac{f(x_0)-f(b)}{x_0-b} }$ ή $\displaystyle{f'(\xi)=\frac{f(x_0)-f(a)}{x_0-a}}$

Για την αυστηρότητα των παραπάνω μπορεί να κοιτάξει την εργασία "Γεωμετρικές συνθήκες κυρτότητας'' στην ιστοσελίδα του Νίκου στον Εκθέτη

#4

Σωστά ο Αναστάσης μιλάει για ανοικτό (α,b).

Το ίδιο λέει και ο κάτοχος της λύσης που έχω.

Ευχαριστώ για την ενασχόληση.

Διττή ύπαρξη

Διττή ύπαρξη

Re: Διττή ύπαρξη

Re: Διττή ύπαρξη

Re: Διττή ύπαρξη

Μέλη σε σύνδεση