Σταθερό σημείο! (Έξυπνη)

[nickthegreek]

Καλησπέρα !

Έστω γωνία . Πάνω στις πλευρές της θεωρώ τα σημεία τέτοια ώστε (σταθερό).

Να δειχθεί ότι, καθώς τα Α,Β μεταβάλλονται, οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των σχηματιζομένων τριγώνων

διέρχονται από σταθερό σημείο εκτός του Ο.

Νίκος

[rastaffari]

Στις OX, OΨ θεωρούμε τα σημεία Μ, Ν με ΟΜ, ΟΝ να έχουν μοναδιαίο μήκος.
Θεωρούμε το ρόμβο ΟΜΓΝ και τον περιγεγραμμένο κύκλο του ΟΑΒ. Έστω Σ το σημείο που η διαγώνιος ΟΓ
του ΟΜΓΝ τέμνει τον κύκλο.
Το ΟΑΣΒ είναι εγγράψιμμο οπότε απο το θεώρημα του Πτολεμαίου έχουμε
ΟΣ*ΑΒ=ΟΑ*ΣΒ+ΟΒ*ΣΑ (1)
Αλλά ΣΑΒ όμοιο με το ΟΓΝ
άρα ΣΒ/ΓΝ=ΣΑ/ΟΝ=ΑΒ/ΟΓ,
άρα ΣΑ=ΣΒ=ΑΒ/ΟΓ (2)
Από (1),(2) έχουμε ΟΣ*ΟΓ=ΟΑ+ΟΒ
δηλαδή ΟΣ=C/ΟΓ σταθερό.

Ελπίζω να μην έχω λαθος.

Καλό απόγευμα.

Παναγιώτης

[Mihalis_Lambrou]

Έστω γωνία . Πάνω στις πλευρές της θεωρώ τα σημεία τέτοια ώστε (σταθερό).

Να δειχθεί ότι, καθώς τα Α,Β μεταβάλλονται, οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των σχηματιζομένων τριγώνων

διέρχονται από σταθερό σημείο εκτός του Ο.

Άλλη λύση.

Γράφουμε κύκλο με διάμετρο στην διχοτόμο ΟΣ της δοθείσας γωνίας, ο οποίος διέρχεται από τα Γ, Δ όπου
ΟΓ = ΟΔ = c/2. Θα δείξουμε ότι το Σ είναι το ζητούμενο. Πράγματι, οποιοσδήποτε κύκλος από τα Ο και Σ, τέμνει τις πλευρές έστω στα Α, Γ.
Τα τρίγωνα ΣΑΔ, ΣΒΓ είναι ίσα ως ορθογώνια (η ΟΣ είναι διάμετρος) και ΣΑ=ΣΒ ως ίσες χορδές σε κύκλο (οι γωνίες ΒΟΣ, ΣΟΑ είναι
ίσες ως μισές της δοθείσας). Άρα ΒΓ = ΑΔ, οπότε ΟΒ + ΟΑ = (ΟΓ-ΒΓ) + (ΟΔ + ΔΑ) = ΟΓ + ΟΔ = c.
Δηλαδή ο κύκλος που γράψαμε είναι ένας από τους επιτρεπτούς. Το αντίστροφο απλό (παρόμοιο), και τελειώσαμε.

Φιλικά

Μιχάλης

[silouan]

Πρόκειται για το θεώρημα MClaurin. Υπόδειξη για διαφορετική λύση απο αυτή του κ.Μιχάλη:
Χρησιμοποιήστε το θεώρημα πτολεμαίου για να αποδείξετε ότι σταθερό σημείο είναι το σημείο τομής της διχοτόμου με τον περιγεγραμμένο κύκλο.

[nickthegreek]

Σας ευχαριστώ όλους πολύ!


Η δική μου λύση πήγαινε λίγο διαφορετικά.

Απέδειξα πρώτα ότι καθώς τα Α,Β μεταβάλλονται, οι εικόνες των κέντρων των περιγεγραμμένων κύκλων των ΟΑΒ κινούνται σε ευθεία γραμμή.

Θα προσπαθήσω να ανεβάσω σύντομα τη λύση μου,αλλά επειδή είναι λίγο μεγάλη,μήπως μπορώ να την ανεβάσω σκαναρισμένη;Επιτρέπεται;

[Μπάμπης Στεργίου]

Καλησπέρα !

Έστω γωνία . Πάνω στις πλευρές της θεωρώ τα σημεία τέτοια ώστε (σταθερό).

Να δειχθεί ότι, καθώς τα Α,Β μεταβάλλονται, οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των σχηματιζομένων τριγώνων

διέρχονται από σταθερό σημείο εκτός του Ο.

Νίκος

Κατά σύμπτωση, τελευταία μελετούσα ξανά αυτό το θεώρημα (Mac Laurin).Τέθηκε και ως θέμα σε διαγωνισμό κάποιας χώρας. Νομίζω το είδα στο CRUX 5 του 2010. Η συνθήκη γενικεύεται , βάζοντας συντελεστές μπροστά κ,λ στα ΟΑ και ΟΒ.
Πρόκειται σίγουρα για χρήσιμο θεώρημα στα σταθερά - μεταβλητά σημεία κλπ. Τα παλιά βιβλία έχουν όλα αυτό το θεώρημα. Το είδα πχ και στη γεωμετρία του Ντάνη και στου Γεωργιακάκη τη Μεθοδική Γεωμετρία.
Αυτά για την ιστορία !
Μπάμπης

[KDORTSI]

Η άσκηση αυτή ήταν η 8η από τις έντεκα δράσεις που περιλάμβανε η εργασία μου στο 27ο Συνέδριο της ΕΜΕ στη Χαλκίδα( Πρακτικά σελ.528).
Ειδικότερα μ' αυτή τη δράση φαίνεται καθαρά η βοήθεια των λογισμικών στην διδαχή θεμάτων που εμπεριέχουν μια "κινητικότητα".
Για παράδειγμα μέσα από το λογισμικό Cabri II μπορεί κανείς να "στήσει" στις πλευρές της γωνίας ένα "σχοινί" σταθερού μήκους και μεταβλητής θέσης.
Στο συνημμένο σχήμα μπορεί κανείς να δεί τη μετακίνηση αυτή και να δεί μέσα από πλήθος θέσεων το δεύτερο σταθερό σημείο
από το οποίο διέρχονται οι περιγεγραμμένοι κύκλοι στο μεταβλητό τρίγωνο ΟΑΒ.

[Ανδρέας Πούλος]

Μόλις είδα την εκφώνηση, θυμήθηκα την εργασία και την παρουσίαση του Κώστα στη Χαλκίδα.
Αυτό δείχνει ότι η εικόνα είναι κάτι που αποτυπώνεται εύκολα στη μνήμη.
Αυτό είναι ένα από τα υπέρ για την εισαγωγή προγραμμάτων Η/Υ στην εκπαίδευση,
εννοείται με προϋποθέσεις κλπ. κλπ. (διότι έχουμε και τους αντιφρονούντες που όλα τους φταίνε και για όλα γκρινιάζουν).

Φιλικά,
Ανδρεάς Πούλος

[Σεραφείμ]

Με την μέθοδο της αντιστροφής.

[p_gianno]

Επιχειρώ μια προσέγγιση.
Έστω ΑΟΒ μια θέση του τργ ΑΟΒ. Μεταβάλλοντας την θέση του Α (κατά τμήμα μήκους λ)και κινούμενο προς το σημείο Α' ‘σπρώχνει’ το Β προς το Β’ και μάλιστα ισχύει ΑΑ’=ΒΒ’=λ. Αυτή η μετακίνηση του Α έχει ως αποτέλεσμα να μεταβάλει και τις θέσεις των μεσοκαθέτων ΠΝ και ΠΜ οι οποίες κινούνται παράλληλα προς εαυτές και μάλιστα για απόσταση λ/2. Είναι δηλαδή ΝΝ’=ΜΜ’=λ/2 =ΠΝ’’=ΠΜ’’ (έχουμε φέρει ΠΝ’’,ΠΜ’’ καθέτους από το Π που προφανώς είναι το περίκεντρο του τργ ΟΑΒ προς τις Π’Ν’ και Π’Μ’)
Από την ισότητα των τργ ΠΝ’’Π’ και ΠΜ’’Π’ προκύπτει ότι Π’Π διχοτόμος των γωνιών Ν’’Π’Μ’’ και ΝΠΜ. Επομένως για κάθε μεταβολή λ το περίκεντρο Π θα βρίσκεται πάνω στην διχοτόμο μιας εξ αυτών των γωνιών (άρα σταθερή ως προς την θέση) , έστω της γωνίας ΝΠΜ.
Όμως γων ΝΠΜ=ΑΟΒ (οξείες με πλευρές καθέτους)και εύκολα έχουμε ότι η διχ/μος ΠΠ’ είναι κάθετη στην Οδ στο σημελιο Ι που είναι και αυτό σταθερό. Όμως η Οδ είναι φορέας χορδής και Ι το ίχνος του αποστήματος που σημαίνει ότι το συμμετρικό **του Ο ως προς Ι είναι το άλλο άκρο της χορδής δηλαδή το σταθερό σημείο απ’όπου περνούν οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τργ ΑΟΒ.
**Δηλαδή το Τ