Ακέραιοι κατώτερης τάξης

KARKAR · #1

$\bigstar$ Ο αριθμός 125=5^3

, γράφεται ως διαφορά τετραγώνων θετικών ακεραίων , αφού : 125=15^2-10^2

.

Κάντε το ίδιο για τον : 1000=10^3

. Μπορούμε άραγε να κάνουμε το ίδιο για οποιονδήποτε : $n^3 , (n \in \mathbb{N^*})$ ;

juan · #2

Για το

παρατηρώ πως γράφεται ως 35^2 - 15^2.

Για την γενίκευση μπορούμε να φέρουμε αντιπαράδειγμα. Πχ το 1^3 = 1

δεν μπορει να γραφεί ως διαφορά τετραγώνων.

#3

juan έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 18, 2025 10:24 pm
... Για την γενίκευση μπορούμε να φέρουμε αντιπαράδειγμα. Πχ το δεν μπορει να γραφεί ως διαφορά τετραγώνων.

Σωστά, αλλά εξέτασε αν αυτή είναι η μόνη εξαίρεση.

Η άσκηση έχει ενδιαφέρον για τις περιπτώσεις n>1

και είναι κρίμα να χαθεί το συμπέρασμα που προκύπτει.

Tolaso J Kos · #4

Είμαι εκτός έδρας και γράφω από κινητό. Θαρρώ πως κάπως έτσι:

$\displaystyle{n^3 = \left( \frac{n (n+1)}{2} \right)^2 - \left( \frac{n (n-1)}{2} \right)^2 }$
Το είδα πρόσφατα αυτό και με εντυπωσίασε. Το ότι εμφανίζονται οι τριγωνικοί αριθμοί μόνο τυχαίο δεν είναι …

#5

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 18, 2025 11:42 pm
Είμαι εκτός έδρας και γράφω από κινητό. Θαρρώ πως κάπως έτσι:

$\displaystyle{n^3 = \left( \frac{n (n+1)}{2} \right)^2 - \left( \frac{n (n-1)}{2} \right)^2 }$
Το είδα πρόσφατα αυτό και με εντυπωσίασε. Το ότι εμφανίζονται οι τριγωνικοί αριθμοί μόνο τυχαίο δεν είναι …

Αφού ήδη δεν τηρήθηκε η παράκληση του θεματοθέτη Θανάση να αφήσουμε την άσκηση για

ώρες σε μαθητές, αντλώ το έρισμα να συμπληρώσω:

Τόλη, αυτό που είναι πιο εντυπωσιακό σε αυτή την θεματολογία είναι ο τύπος

$\boxed {1^3+2^3+3^3+...+n^3= (1+2+3+...+n)^2}$

Τί σχέση έχει αυτό με την αρχική ερώτηση; Το λοιπόν, αν αφαιρέσουμε τον αμέσως προηγούμενο τύπο (δηλαδή το άθροισμα των κύβων μέχρι τον (n-1)^3

) θα βρούμε

n^3 = (1+2+3+...+n)^2 - (1+2+3+...+(n-1))^2

.

Αυτό απαντά στο αρχικό ερώτημα ότι ο n^3

γράφεται ως διαφορά τετραγώνων. Βέβαια, μπορούμε να το φέρουμε στην μορφή που καταγράφει ο Τόλης, αφού $1+2+3+...+n =\dfrac {1}{2}n(n+1)$ .

Και κάτι ακόμα. Πώς θα λύναμε την άσκηση αν δεν ξέραμε τους παραπάνω τύπους; Απλούστατα ως εξής:

Ψάχνουμε φυσικούς a,b

με

. Δηλαδή θέλουμε $(a+b)(a-b) = n^3=n^2\cdot n$ . Δεν έχουμε παρά να επιλέξουμε

$a+b=n^2, \, a-b=n$ . Είναι τότε $a= \dfrac {n^2+n}{2}$ και $b= \dfrac {n^2-n}{2}$ . Ξαναβρήκαμε, λοιπόν, για τρίτη φορά τους παραπάνω τύπους.

KARKAR · #6

Παρατηρήσεις : Το : 1000

, μπορεί να γραφεί ως : 251^2-249^2=127^2-123^2=55^2-45^2=35^2-15^2

.

Επίσης , το 125

γράφεται ως διαφορά τετραγώνων κατά δύο τρόπους 63^2-62^2=15^2-10^2

. Δώστε μια εξήγηση .

Φυσικά αυτό δεν αφορά στον πυρήνα της άσκησης , της οποίας η "δημοφιλέστερη" λύση νομίζω ότι είναι

η τελευταία που προτείνει ο Μιχάλης.

Για την ιστορία , ήταν θέμα εισαγωγικών εξετάσεων το 1951

. ( Ο αναρτήσας το θέμα ήταν τότε μόλις

ετών ) .

Ακέραιοι κατώτερης τάξης

Ακέραιοι κατώτερης τάξης

Re: Ακέραιοι κατώτερης τάξης

Re: Ακέραιοι κατώτερης τάξης

Re: Ακέραιοι κατώτερης τάξης

Re: Ακέραιοι κατώτερης τάξης

Re: Ακέραιοι κατώτερης τάξης

Μέλη σε σύνδεση