Ανισότητα από διχοτόμο

sakis1963 · #1

: 2023.05.08.FB12491 mathematica.png (68.77 KiB) Προβλήθηκε 1037 φορές

Η διχοτόμος AD=x

της ορθής γωνίας, ορθογωνίου τριγώνου ABC

,

χωρίζει την υποτείνουσα

στα τμήματα BD=y, DC=z

Δείξτε ότι $x^2\leq yz$

STOPJOHN · #2

sakis1963 έγραψε: ↑
Δευ Μάιος 08, 2023 11:37 am
2023.05.08.FB12491 mathematica.png
Η διχοτόμος της ορθής γωνίας, ορθογωνίου τριγώνου ,

χωρίζει την υποτείνουσα στα τμήματα

Δείξτε ότι $x^2\leq yz$

Aπο τους τύπους της εσωτερικής διχοτόμου είναι

$y=\dfrac{ac}{c+b},z=\dfrac{ab}{c+b}\Rightarrow yz=\dfrac{a^{2}bc}{(c+b)^{2}},(1)$

Από τον τύπο της διχοτόμου

$x^{2}=cb.\dfrac{(b+c)^{2}-a^{2}}{(b+c)^{2}}\Rightarrow x^{2}=\dfrac{2b^{2}c^{2}}{(b+c)^{2}},(2), (1),(2)$ Αρκεί να αποδειχθεί ότι $2cb\leq b^{2}+c^{2}$

Τοίσον ισχύει για ορθογώνιο ισοσκελές τρίγωνο

Γιώργος Μήτσιος · #3

Kαλημέρα!
Γεια σου Θάνο!
Α' τρόπος: Με χρήση και του τύπου $\delta _{a}=\dfrac{bc\sqrt{2}}{b+c}$ ..

Β' τρόπος : Με χρήση και του σχήματος.

: 8-5.. Sakis.png (195.78 KiB) Προβλήθηκε 1010 φορές

Ο α΄τρόπος ουσιαστικά καλύφθηκε στο μεταξύ από τον φίλο Γιάννη !

Θα επανέλθω αν χρειαστεί για τον β΄ τρόπο...

Άρση απόκρυψης. Υ.Γ. Και ο β' τρόπος καλύφθηκε από τον αγαπητό Σταύρο!

Φιλικά, Γιώργος.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Εστω

το σημείο που τέμνει η

τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου.
Απο δύναμη σημείου είναι BD.CD=AD.DK

Είναι εύκολο να αποδειχθεί ότι $DK\geq AD$ (φέρουμε από τα A,K

καθέτους στην

)
Αρα $BD.CD\geq AD^{2}$

ksofsa · #5

Καλησπέρα.

Θα ήθελα να κάνω ένα σχόλιο:

Έστω AH,AM

, ύψος και διάμεσος αντίστοιχα.

Τότε η δεδομένη ανισότητα ισχύει για κάθε σημείο στο τμήμα

και όχι μόνο για το

.

Έστω σημείο

στο

και

.

Τότε , η ποσότητα $PA^2-PB\cdot PC$ γράφεται με το νόμο συνημιτόνων ως τριώνυμο του

, έστω

.

Δεδομένου ότι f(BH)=f(BM)=0

, το

διατηρεί πρόσημο για $P\epsilon MH$ και αλλάζει πρόσημο εκτός του

. Επειδή ,αν $P\equiv B$ , το τριώνυμο έχει θετικό πρόσημο , συμπεραίνουμε ότι είναι μη θετικό αν $P\epsilon MH$ , δηλαδή:

$PA^2-PB\cdot PC\leq 0\Leftrightarrow PA^2\leq PB\cdot PC$ , για $P\epsilon MH$ .

#6

Πολύ ενδιαφέρουσα η γενίκευση του Κώστα, επιστρέφω προς στιγμήν στο αρχικό ερώτημα του Θάνου και γενικεύω προς άλλη κατεύθυνση:

Αν $A\geq 90^0$ και

διχοτόμος τότε $AD^2\leq BD\cdot CD$ .

Από Νόμο Ημιτόνων στα DAB, DAC

προκύπτουν οι

$x=\dfrac{ysin\beta}{sin(\alpha /2)}, x=\dfrac{zsin(\alpha +\beta)}{sin(\alpha /2)},$

αρκεί συνεπώς να δειχθεί η

$sin\beta sin(\alpha + \beta)\leq sin^2(\alpha /2)$ για $0\leq \beta \leq \pi /2.$

Θέτοντας $f(\beta)=sin\beta sin(\alpha + \beta)$ έχουμε $f(0)=0\leq sin^2(\alpha /2)$ και $f(\pi /2)=cos\alpha \leq 0\leq sin^2(\alpha /2)$ ενώ $f'(\beta)=sin(\alpha + 2\beta)$ : υπάρχει λοιπόν τοπικό ακρότατο για $\beta=\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\alpha}{2}$ , οπότε αρκεί να δειχθεί η $f(\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\alpha}{2})\leq sin^2(\alpha /2),$ ευθέως αναγόμενη στην ισχύουσα (λόγω της αρχικής υπόθεσης $\alpha \geq \pi /2$ )

$cos^2\alpha /2\leq sin^2\alpha /2.$

#7

gbaloglou έγραψε: ↑
Τρί Μάιος 09, 2023 2:42 pm
Πολύ ενδιαφέρουσα η γενίκευση του Κώστα, επιστρέφω προς στιγμήν στο αρχικό ερώτημα του Θάνου και γενικεύω προς άλλη κατεύθυνση:

Αν $A\geq 90^0$ και διχοτόμος τότε $AD^2\leq BD\cdot CD$ .

Από Νόμο Ημιτόνων στα προκύπτουν οι

$x=\dfrac{ysin\beta}{sin(\alpha /2)}, x=\dfrac{zsin(\alpha +\beta)}{sin(\alpha /2)},$

αρκεί συνεπώς να δειχθεί η

$sin\beta sin(\alpha + \beta)\leq sin^2(\alpha /2)$ για $0\leq \beta \leq \pi /2.$

Θέτοντας $f(\beta)=sin\beta sin(\alpha + \beta)$ έχουμε $f(0)=0\leq sin^2(\alpha /2)$ και $f(\pi /2)=cos\alpha \leq 0\leq sin^2(\alpha /2)$ ενώ $f'(\beta)=sin(\alpha + 2\beta)$ : υπάρχει λοιπόν τοπικό ακρότατο για $\beta=\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\alpha}{2}$ , οπότε αρκεί να δειχθεί η $f(\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\alpha}{2})\leq sin^2(\alpha /2),$ ευθέως αναγόμενη στην ισχύουσα (λόγω της αρχικής υπόθεσης $\alpha \geq \pi /2$ )

$cos^2\alpha /2\leq sin^2\alpha /2.$

Ας παρατηρηθεί εδώ ότι για το αρχικό ερώτημα του Θάνου η κρίσιμη ανισότητα ανάγεται, με $\alpha =\pi /2$ , στην προφανή $sin\beta cos\beta \leq\dfrac{1}{2}$ .

Το κύριο όμως ερώτημα που προκύπτει από την παραπάνω γενίκευση είναι: μήπως ισχύει η αντίστροφη ανισότητα για $a\leq \pi /2$ ; Ευθύς εξ αρχής θα έπρεπε να απαντήσουμε αρνητικά, καθώς γενικά δεν έχουμε ισότητα ( x^2=yz

) όταν $a=\pi /2$ . Μία λεπτομερέστερη μελέτη της συνάρτησης

, ακριβέστερα της $g(\beta )=sin^2(\alpha /2)-f(\beta)$ , μας δείχνει γιατί δεν ισχύει η επιθυμητή $g(\beta )\leq 0$ για $0\leq \beta \leq \pi - \alpha$ (και $\alpha <\pi /2$ ). Περιορίζομαι παρακάτω στα σχετικά γραφήματα για $\alpha = 5\pi /6, \alpha = 2\pi /3, \alpha = \pi /2, \alpha = \pi /3, \alpha = \pi /6$ και $0\leq \beta \leq \pi$ (με την κόκκινη βούλα να δείχνει το πραγματικό πεδίο της γωνίας $\beta$ ): βλέπουμε καθαρά στα τελευταία δύο γραφήματα την

να ανεβαίνει έστω και ελάχιστα πάνω από τον άξονα των

κοντά στο

, κλπ κλπ

: γραφήματα-ανισότητας-διχοτόμου.png (70.09 KiB) Προβλήθηκε 879 φορές

Ανισότητα από διχοτόμο

Ανισότητα από διχοτόμο

Re: Ανισότητα από διχοτόμο

Re: Ανισότητα από διχοτόμο

Re: Ανισότητα από διχοτόμο

Re: Ανισότητα από διχοτόμο

Re: Ανισότητα από διχοτόμο

Re: Ανισότητα από διχοτόμο

Μέλη σε σύνδεση